Matematické Fórum

FlyingMonkey · 28. 01. 2012 17:27

Ahoj,

Volte různá přirozená čísla n a zjišťujte, zda pro ně platí 2^n > n^2.

Vyslovte hypotézu a ověřte ji matematickou indukcí.

Po zapsání až do n=5 jsem zjistil že od n=4 už to bude vždycky větší. (taky jsem si trochu pomohl grafem, našrtnul jsem si pro 2^n a n^2 a tam to jde pěkně vidět...)

Takže to je moje hypotéza, ale nevím, jak to přesně teďka potvrdit?
Tohle už je hvězdičkový, takže složitější příklad .) Ale rád bych ho měl, thx !

cya

zdenek1 · 28. 01. 2012 17:49

↑ FlyingMonkey:
DOkazujeme, že $\forall n\in\mathbb N \wedge n\ge5$ platí $2^n>n^2$

1) ověřit pro $n=5$
2) indukční předpoklad $2^k>k^2$
3) $2^{k+1}??(k+1)^2$
$2\cdot2^k-k^2-2k-1??0$
$\underbrace{2^k-k^2}_{>0\, \text{ind. pr.}}+\underbrace{2^k-2k-1}_{2. \text{clen}}??0$
protože ale
$k^2>2k+1$ pro $n>2$ - ověříš tak, že si spočítáš tu nerovnici - je
$2^k>k^2>2k+1$
a 2. člen je také kladný.
Součet dvou kladných čísel je ....

FlyingMonkey · 29. 01. 2012 11:23

Díky za reakci.

roznásobení/úpravám rozumím.

Problém mám jenom s tím dalším..

$\underbrace{2^k-k^2}_{>0\, \text{ind. pr.}}+\underbrace{2^k-2k-1}_{2. \text{clen}}??0$

Ten první člen není vždy větší než nula ne? už pro k=3 to je záporné číslo. (čímž se vyvrací i ten indukční předpoklad a já bych řekl, že to neplatí..)

Pak moc nechápu, z čeho se poskládaly ty nerovnice a proč je zase najednou skládáš dohromady z těch dvou členů?

Jako když bych to řešil z toho tvého, snažím se zjistit, kdy jsou ty dva členy kladné a pak pro taková k by to platilo?

Díky v tomhle se ještě moc neorientuju :)

zdenek1 · 29. 01. 2012 11:42

↑ FlyingMonkey:

už pro k=3 to je záporné číslo.

přečti si mou první větu

Klíčové je zjistit jak je nerovnost v 3)
Takže já s tím "čaruju" tak abych to zjistil. U důkazů není žádný univerzální postup. Prostě zapojíš fantazii a trochu si s tím hraješ až zjistíš (nebo taky nezjistíš) , to co potřebuješ.

FlyingMonkey · 29. 01. 2012 11:51

Mno, tak tohle "čarování" mi zůstane asi ještě skryto :)

Ale díky :)

Matematické Fórum

#1 28. 01. 2012 17:27

Mat. indukce

#2 28. 01. 2012 17:49

Re: Mat. indukce

#3 29. 01. 2012 11:23

Re: Mat. indukce

#4 29. 01. 2012 11:42

Re: Mat. indukce

#5 29. 01. 2012 11:51

Re: Mat. indukce

Zápatí