Matematické Fórum

geib · 30. 01. 2012 08:51

Dobrý den nevím si rady jak řešit příklad:
Nalezněte řešení cauchyovy úlohy

x´+x/t+1=-t^2

předem moc děkuji

jardofpr

↑ geib:

zo zlomku na ľavej strane rovnice plynie podmienka
$t \neq 0$
teda môžeš prenásobiť rovnicu výrazom $\mathrm{e}^{\ln{t}}$
potom máš

$x'\mathrm{e}^{\ln{t}} + \frac{1}{t}x\mathrm{e}^{\ln{t}}=(-1-t^2)\mathrm{e}^{\ln{t}}$
$\bigg[ x \mathrm{e}^{\ln{t}}\bigg]'=(-1-t^2)\mathrm{e}^{\ln{t}}$
$x \mathrm{e}^{\ln{t}} = \int_{}^{}(-1-t^2)\mathrm{e}^{\ln{t}}\,dt$
$\Rightarrow$
$x(t)=\mathrm{e}^{-\ln{t}}\int_{}^{}(-1-t^2)\mathrm{e}^{\ln{t}}\,dt$

to už je separovaný tvar

ale nevidím tam začiatočnú podmienku nikde

geib · 30. 01. 2012 09:49

↑ jardofpr:
počáteční podm. je x(0)=2

a jak přijdu na to čím rovnici vynásobit?

Rumburak · 30. 01. 2012 10:41

↑ jardofpr:
Využívat identitu $t = \mathrm{e}^{\ln{t}}$ zde ani není nutné . Vynásobíme-li původní rovnici proměnnou $t \neq 0$ , po úpravě dostaneme
$x't + x=-t(1+t^2)$ ,
$(xt)'=-t(1+t^2)$ , atd.

jardofpr · 30. 01. 2012 10:46

↑ Rumburak:

to je pravda, môže sa stať že potom človek niekedy ale natrafí na príklad keď bude potrebovať celý ten výraz
tu je to ukázané na jednoduchom príklade, možno sa to ľahšie bude pamätať :)

Rumburak · 30. 01. 2012 10:48

↑ jardofpr:
I to je pravda. :-)

Matematické Fórum

#1 30. 01. 2012 08:51

Nalezněte řešení Couchyovy úlohy

#2 30. 01. 2012 09:25 — Editoval jardofpr (30. 01. 2012 09:26)

Re: Nalezněte řešení Couchyovy úlohy

#3 30. 01. 2012 09:49

Re: Nalezněte řešení Couchyovy úlohy

#4 30. 01. 2012 10:41

Re: Nalezněte řešení Couchyovy úlohy

#5 30. 01. 2012 10:46

Re: Nalezněte řešení Couchyovy úlohy

#6 30. 01. 2012 10:48

Re: Nalezněte řešení Couchyovy úlohy

Zápatí