Matematické Fórum

JLs · 28. 09. 2008 17:24

Sestrojte trojuhelník ABC, pro který platí a(strana BC)=5cm, alfa(uhel u vrcholu A)=45 stupnů, "ró"=1,5cm, kde "ró" je polomer vepsané kružnice.
Předem děkuji všem za pomoc.postačí napsat postup ale obrázek by nebyl špatný

Pavel Brožek · 28. 09. 2008 21:43

Věděl bych o jednom řešení, které využívá vzorec pro vzdálenost středu kružnice opsané a středu kružnice vepsané

$d=\sqrt{r^2-2r\varrho}$ ,

kde r je poloměr kružnice opsané a $\varrho$ poloměr kružnice vepsané. Takže to není moc hezké řešení. Chceš, abych ho napsal, nebo počkáš, až někdo přijde s hezčím řešením?

jelena · 28. 09. 2008 23:12

↑ BrozekP:

Zdravím :-)

Určitě mé řešení nebude hezčí, jen jako doplněk. Postup je založen na hledání os úhlů beta a gama. Zadání je totiž ze sbírky Planimetrie pro gymnazia a tuto sbírku už mám docela slušně propočítanou (postup je naznačen také ve vysledcích, ale trochu svého času potrápil, než byl pochopen :-)

1. Úsečka BC - tato úsečka je videt ze středu kružnice vepsané pod úhlem BSC = 90+alfa/2. Zároveň je střed kružnice vepsané vzdálen od úsečky BC o poloměr $\rho$ .

Velikost uhlu BSC (S - střed kružnice vepsané) určime takto:

pro tr. ABC:

$\alpha+\beta+\gamma=180$

pro tr. BSC (velikost úhlu BSC označím za x):

$x +\frac{\beta}{2}+\frac{\gamma}{2}=180$

$x +\frac{\beta + \gamma}{2}=180$

$x=180-\frac{\beta + \gamma}{2}$

$x=180-\frac{180-\alpha}{2}=90+\frac{\alpha}{2}$

2. Pomocí kružnicového oblouku a vzdálenosti středu kružnice vepsané od strany BC najdeme polohu bodu S - středu kružnice vepsane.

3. Střed kružnice vepsané leží na osach úhlů ABC, ACB, můžeme tedy sestrojit úhly XBC, YCB, průník polopřímek BX, CY je bod A.

Je to tak srozumitelne? (nákres neslibuji a správný popis konstrukce už vůbec ne, omlovám se :-)

Pavel Brožek · 28. 09. 2008 23:20

↑ jelena:

Zdravím,

toto považuji za to hezké řešení, ke kterému jsem se nějak nemohl dostat.

jelena · 28. 09. 2008 23:39 — Editoval jelena (28. 09. 2008 23:40)

↑ BrozekP:

Však si vzpominám, že mi to také trvalo (pořad jsme zkoušeli prorazit přes osu úhlu alfa a nikam to nevedlo :-) I když kapitolu 2.4 Konstrukce trojuhelníku považuji za tu lepší část celé knihy. Ještě budou zobrazení, brrr :-(

Co doporučuješ jako dobrý materiál pro cvičení planimetrie? Sbírka pro gymnazia je docela dobra + Polák "Přehled středoškolské matematiky". Máš ještě nějaký tip?

A osobně považuji za čest citovat tento materiál. Zdravím autora :-)

Pavel Brožek

↑ jelena:

Já jsem se planimetrií nikdy moc nezabýval (je to část matematiky, která mi moc nejde), řešil jsem jen příklady co nám byly zadány na gymnáziu z učebnice Planimetrie pro gymnázia, zajímavé úlohy, na které jsem narazil na internetu, a úlohy z olympiády. Nemám tedy žádný materiál, který bych mohl doporučit. V tom by ti mohl spíš pomoci Kondr, když se konstrukčními úlohami z planimetrie takto zabýval.

Edit: Ještě mě napadá, že bych mohl doporučit se podívat na Euklidovy Základy (tím tedy teď nemám na mysli procvičování, ale planimetrii obecně). Jestli si dobře vzpomínám, tak jsem přečetl jen první knihu a část druhé, není to moc zábavné čtení. Je ale hezké, jak každou "blbost" odvozuje pouze z toho co už dokázal a z postulátů. Kdo by měl zájem, mám prvních 10 knih v pdf v angličtině a řečtině, je to doplněné poznámkama (pouze vyjímečně, jen poznámky pod čarou).

Edit: Jsou snadno dostupné i na internetu, třeba zde (to je to co mám, jen je to všech 13 knih a v tom co mám já jsou i hypertextové odkazy v důkazech, což je podle mě velmi užitečné). Nebo jiný překlad do angličtiny zde.

JLs · 29. 09. 2008 18:31

↑ jelena:

ahoj jen bych se chtěl zeptat, celou dobu co jsem na gymplu tak nám učitelka povídá, že když se rýsuje tak se nepočítá. může se počítat nebo ne?

Kondr · 29. 09. 2008 19:21

↑ JLs:Počítat se může, ale nesmí to vnést do konstrukce nepřesnosti (není možné třeba ze zadaných dvou úhlů a jedné strany dopočítat zbylé strany trojúhelníka a ten sestrojit). Kontrolou pro to, co můžeme a co nemůžeme je to, co lze a nelze provést pravítkem a kružítkem. Pravítko a kružítko umí sečíst úsečky, rozpůlit úhel, sečíst úhly, odmocnit součin délek dvou úseček... můžeme proto napočítat hodnotu nějakého výrazu, ale "vyčíslit" ho musíme už kružítkem a pravítkem.

jelena · 30. 09. 2008 00:22

Zdravím vás a děkuji za reakce :-)

↑ BrozekP:

Děkuji, neměla jsem na mysli něco globálního, spíše, zda se nepodařilo natrefit na nějakou dostupnou knihu rozborů geometrických úloh vhodnou pro SŠ podobnou Polákovi (ta mi vyhovuje víc, než Planimetrie pro gymnazia). Zajimavé je, že na Východě za dob mého střdoškolského studija geometrie byla samostaným předmětem (2 hodiny tydne) a měla jsem ji ráda, hodně se probiralo dokazování. Ale pak už jsem ztratila takový cvik a už jsem se k tomu nevrátila, jen z donucení. Vždy se těším, že období planimetrie pomine :-)

Můžeš překontrolovat, zda jsem nějak neubližila šíření Euklidových myšlenek v českých zemích http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=1900 , děkuji :-) Také ruské překlady jsou dobré a není to moc nudné čtení :-)

↑ JLs:

Kolega Kondr má naprostou pravdu - počítat se nemá. Tady jsem odpovídala na dotaz o speciálních případech, kdy se počítá, ale je to opravdu spíše okrajová záležitost: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=2842 (příspěvek úplně na závěr)

Cheop · 30. 09. 2008 07:07 — Editoval Cheop (02. 09. 2010 18:12)

↑ JLs:
Tak jsem to snad dal dohromady:
http://forum.matweb.cz/upload/261-Tro2.JPG
http://www.ulozto.cz/5740367/kostr2.html

Matematické Fórum

#1 28. 09. 2008 17:24

konstrukce trojúhelníku: a, alfa a ró(poloměr vepsané kružnice)

#2 28. 09. 2008 21:43

Re: konstrukce trojúhelníku: a, alfa a ró(poloměr vepsané kružnice)

#3 28. 09. 2008 23:12

Re: konstrukce trojúhelníku: a, alfa a ró(poloměr vepsané kružnice)

#4 28. 09. 2008 23:20

Re: konstrukce trojúhelníku: a, alfa a ró(poloměr vepsané kružnice)

#5 28. 09. 2008 23:39 — Editoval jelena (28. 09. 2008 23:40)

Re: konstrukce trojúhelníku: a, alfa a ró(poloměr vepsané kružnice)

#6 29. 09. 2008 09:15 — Editoval BrozekP (29. 09. 2008 10:01)

Re: konstrukce trojúhelníku: a, alfa a ró(poloměr vepsané kružnice)

#7 29. 09. 2008 18:31

Re: konstrukce trojúhelníku: a, alfa a ró(poloměr vepsané kružnice)

#8 29. 09. 2008 19:21

Re: konstrukce trojúhelníku: a, alfa a ró(poloměr vepsané kružnice)

#9 30. 09. 2008 00:22

Re: konstrukce trojúhelníku: a, alfa a ró(poloměr vepsané kružnice)

#10 30. 09. 2008 07:07 — Editoval Cheop (02. 09. 2010 18:12)

Re: konstrukce trojúhelníku: a, alfa a ró(poloměr vepsané kružnice)

Zápatí