Matematické Fórum

cinnamonchallenge · 03. 02. 2012 22:36

Ahoj,

vyšetřuju průběh fce
$f(x)=\frac{2sgn(x)}{x^2+1}$

která není spojitá v 0, ani zprava ani zleva, a tedy nemůžu počítat derivaci v 0 zprava a zleva jako $\lim_{x\to 0+}f'(x)$ a $\lim_{x\to 0-}f'(x)$ , když ji spočítám z definice vychází $\infty$ v obou případech.

Problém je, když pak dělám náčrt grafu tak jak mám vědět, jaký sklon dát fci kolem 0? Na grafu, který mám k dispozici to totiž vypadá, jako by pro x->0+ a x->0- byla tečna rovnoběžná s osou x, tedy derivace nulová, což mi ovšem nevychází. :(

Děkuji za pomoc a radu.

jardofpr

↑ cinnamonchallenge:

Odkaz

ahoj, myslíš tento graf alebo nejaký iný?

ono je to fasa občas sa zamyslieť nad úlohou ktorú človek počíta ako si to urobil ty :)

tie derivácie tam naozaj sú

cinnamonchallenge · 03. 02. 2012 23:15

↑ jardofpr:

ano, napr. v tomto priblizeni:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl … %3D0..0.05

jardofpr

↑ cinnamonchallenge:

no, máš pravdu, sú tam
ono totiž tá funkcia má jediný bod nespojitosti 0
to znamená že nech sa pohneš o ľuboľne maličký úsek po x-ovej osi doľava alebo doprava, tam už tá funkcia spojitá bude
(ona tá funkcia je aj diferencovateľná v ľubovoľnom bode a na nejakom jeho okolí, okrem bodu nula, preto tam tie derivácie sú )
a nezáleží na tom či sa pohneš o 1 alebo o $1\times 10^{-100}$
vieš čo myslím?

cinnamonchallenge

↑ jardofpr:

no asi ti rozumim, ale definice 'jednostranne' spojitosti mi rika:

f. je spojita v bode rekneme "a" zprava, jestlize $\lim_{x\to a+}f(x)=f(a)$

coz pokud aplikuju na tento pripad, tak ta lim x->0+ f(x) = 2, ale f(0) = 0

takze z tohoto mi plyne, za ta funkce v nule zprava spojita neni...

jardofpr

↑ cinnamonchallenge:

zle som si to prečítal, tak to presne je
ale ona nie je spojitá !iba! v nule

v ľubovoľnom bode mimo nuly spojitá je
veď si to sám našiel na tom grafe

bez tej funkcie signum by bola tá funkcia spojitá všade
napravo od nuly je tá funkcia normálne $\frac{2}{x^2+1}$ signum má hodnotu 1
naľavo od nuly je to zasa $-\frac{2}{x^2+1}$ vďaka funkcii signum
ale na tých funkciách sa nezmení nič do momentu keď sú práve v nule, tam tú spojitosť pokazí signum

cinnamonchallenge · 03. 02. 2012 23:35

↑ jardofpr:

no ale kdyz teda vemu bod $0+\delta$ . tedy napr. bod lezici hned vedle nuly vpravo a vysetruju v nem spojitost, tak je to to same jako vysetrovat spojitost v 0+ (tedy zprava) ne? pro coz mi ale jak jsem napsal vychazi, ze spojita neni...

jardofpr

↑ cinnamonchallenge:

nie, to nie je to isté
keď vyšetruješ spojitosť sprava, používaš limitu aby si sa k nule dostal blízko a vlastne sa k tej nule "nekonečne blížiš
pritom sa nezastavíš nikdy na nejakom bode $0 + \delta$ , prejdeš ho a ideš ďalej, lebo žiadny konkrétny bod nerovný nule pri hľadaný limity kde $x -> 0$ nie je nikdy pre tú limitu smerodatný
tým sa to líši a je to obrovský rozdiel :)

cinnamonchallenge · 03. 02. 2012 23:42

↑ jardofpr:

tak podle me je fakt, ze sgn jako takove neni spojite v nule zprava, v nule, v nule zleva... tudiz pro tu funkci nemuzu v nule zprava pocitat derivaci pomoci limity derivace, protoze i ta derivace obsahuje sgn, takze ma stejne body nespojitosti :(

cinnamonchallenge · 03. 02. 2012 23:43

↑ jardofpr:

ok, zamyslim se nad tim do rana, zatim dekuju :) dobrou.

jardofpr

↑ cinnamonchallenge:

no počkaj, ale to že signum nie je spojité v nule ani zľava, ani sprava, neznamená že je tam tých bodov viac
má iba jeden bod nespojitosti , nulu
to že nie je spojité v nule ani zľava, ani sprava, je to isté ako keď povieš že nie je spojité v nule, to nie sú tri rozličné veci
tú deriváciu môžeš v každom konkrétnom bode okrem nuly spočítať tabuľkovým derivovaním, nemusíš ani používať definíciu
akurát to tak nesmieš robiť v nule

no dúfam že si to rozmyslíš :)

cinnamonchallenge

↑ jardofpr:

Takže můžu spočítat derivaci pro x->0 zprava jako $\lim_{x\to 0+}f'(x)$ (analogicky zleva)? Opravdu by vyšli nuly...

vanok · 04. 02. 2012 10:34

↑ cinnamonchallenge:,
prebehol som tento post
Kolega ↑ jardofpr: sa ti znazi dobre a trpezlivo vysvetlit zakladne pojmy.

Mam len male poznamky:

Pises k comu si prisiel, ale nikde nevidim tvoj postup prace. To je dolezite ho napisat, aby ti niekto mohol dobre pomoct.

Inac,vies ze funkcia "znamienko" $sgn$ je definovana takto
$sgn(x)=1 , x\in ]0; +\infty[ \\ sgn(x)=0, x=0\\ sgn(x)=-1 , x\in]-\infty ;0[$
a vdaka tomu tvoja funkca sa da vyjadrit aj takto
$f(x)=\frac2 {x^2+1}, x\in]0; +\infty[ \\f(x)=0,x=0\\ f(x)=\frac{ -2}{x^2+1}, x\in]-\infty ;0[$
co ti umoznuje urobit metodicky studium priebehu funkcie.

jarrro · 04. 02. 2012 10:42 — Editoval jarrro (04. 02. 2012 10:46)

↑ cinnamonchallenge: $\lim_{x\to 0+}f'(x)$ nie je nutne derivácia sprava v nule podobne pre limitu zľava totiž derivácia nemusí byť spojitá ani z jednej strany príklad je konkrétne táto funkcia ktorú uvádzaš
↑ vanok:už dlhšie si všímam, že prevraciaš hranaté zátvorky je to zámer alebo chyba?

vanok · 04. 02. 2012 11:03 — Editoval vanok (04. 02. 2012 11:31)

↑ jarrro:,
Pozdravujem.

Aha, pre mna to znamena
] = otvoreny
[ = zatvoreny
Pouziva to vela autorov, tak aj ja

Aj tu mas vysvetlene "preklady" znaceni
http://cs.wikipedia.org/wiki/Interval_% … 8Den.C3.AD

A tu mas cely zoznam moznosti:
Pre $(a,b)\in\R^2,\ a<b:$

$\{ x \in \R ; a <x < b \} = ]a; b[$
$\{ x \in \R ; a \le x \le b \} = [a ; b]$
$\{ x \in \R ; a < x \le b \} = ]a; b]$
$\{ x \in \R ; a \le x < b \} = [a; b[$

$\{x \in \mathbb{R} ; x < a \} = ]-\infty; a[$
$\{x \in \mathbb{R} ; x \leq a\} = ]-\infty; a]$
$\{x \in \mathbb{R} ; x > a \} = ]a; +\infty[$
$\{x \in \mathbb{R} ; x \ge a \} = [a; +\infty[$

Naviac sa povazuju za intervaly:

Prazdna mnozina $\varnothing$
$\{ a \} = [a; a]$
$\mathbb{R} = ]-\infty; +\infty[$

jarrro · 04. 02. 2012 12:17 — Editoval jarrro (04. 02. 2012 12:22)

↑ vanok:aha to som ešte nikde okrem teba nevidel
jaj francúzsky zápis to veľa vysvetľuje nečítam francúzsku literatúru keď už nie slovenskú či českú tak anglickú
aj keď logiku to má ukazuje,že doplnok je uzavretý díky za upresnenie nevedel som o tom značení

kaja.marik · 04. 02. 2012 12:58

↑ jarrro:
Takovy zapis je v ceske norme (CSN, cislo z hlavy nevim). Takze mozna tak moc francouzsky neni.
Mel jsem tu normu kdysi k dispozici, ted uz do ni nahlidnout nemam opravneni. Skoda ze se to neda nikde vystavit.

jarrro · 04. 02. 2012 13:01 — Editoval jarrro (04. 02. 2012 13:02)

↑ kaja.marik:narážal som na wiki tam je to označené ako "francouzský" zápis

kaja.marik · 04. 02. 2012 13:06

viz http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=8767

jardofpr

↑ cinnamonchallenge:

najprv aby sme si ujasnili zápisy:
vo všeobecnosti neplatí rovnosť

$f'(x_{0}) =\lim_{x \to x_{0}}f'(x)$

táto rovnosť platí za podmienok, ktoré ako už poznamenal ↑↑ jarrro: tvoja funkcia nespĺňa, tie dva zápisy neznamenajú tú istú vec, ľavá strana popisuje deriváciu funkcie f priamo v bode 0, pravá strana rovnosti popisuje to ako sa derivácia funkcie správa v ľubovoľnej blízkosti bodu 0
to píšem preto aby sa nestalo, že myslíme rozdielne veci a píšeme ich rovnako

cinnamonchallenge napsal(a):
Takže můžu spočítat derivaci pro x->0 zprava jako $\lim_{x\to 0+}f'(x)$ (analogicky zleva)? Opravdu by vyšli nuly...

ak zápisom $\lim_{x\to 0+}f'(x)$ myslíš samotnú deriváciu funkie $f$ v bode $x =0$ tak nie
lebo limita derivácie tejto funkcie v bode 0 sa nerovná derivácii v bode 0

ak tým myslíš limitu derivácie ako funkcie premennej x, tak môžeš
vieme teda že $f'(0)=\infty$ (spoločná hodnota pre deriváciu zľava aj sprava v nule)
a chceme vedieť ako sa správa derivácia blízko nuly, vpravo a potom aj vľavo
z úvah teda vylúčime $x=0$
(pri všetkých rovnostiach sa, okrem skutočností opísaných v poznámkach, predpokladá
že limity existujú)

$\lim_{x\to 0^{+}}f'(x)=\lim_{x \to 0^{+}}\Big( \lim_{t \to x}\frac{f(t)-f(x)}{t-x} \Big)=\lim_{x\to 0^{+}} \Bigg( \lim_{t \to x} \frac{\frac{2\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(t)}{t^2+1}-\frac{2\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(x)}{x^2+1}}{t-x} \Bigg)\stackrel{\text{Pozn.1}}{=}$
$\stackrel{\text{Pozn.1}}{=}\lim_{x \to 0^{+}}\Bigg(\lim_{t \to x} \frac{2\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(x) \frac{x^2+1-(t^2+1)}{(t^2+1)(x^2+1)}}{t-x}\Bigg)=\lim_{x \to 0^{+}}\Bigg( \lim_{t \to x}\frac{2(x^2-t^2) \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(x)}{(x^2+1)(t^2+1)(t-x)}\Bigg)=$
$=\lim_{x \to 0^{+}}\Bigg( \lim_{t \to x}\frac{-2(x+t) \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(x)}{(x^2+1)(t^2+1)} \Bigg)\stackrel{\text{Pozn.2}}{=} \lim_{x \to 0^{+}} \frac{-4x\,\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(x)}{(x^2+1)^2} \stackrel{\text{Pozn.3}}{=} \lim_{x \to 0^{+}}\frac{-4|x|\,(\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(x))^2}{(x^2+1)^2}\stackrel{\text{Pozn.4}}{=}\lim_{x \to 0}\frac{-4|x|}{(x^2+1)}=0$

POZN.1: rovnosť týchto 2 limít (vždy myslím tie najbližšie naľavo a napravo od znamienka rovnosti označeného príslušnou poznámkou)
lebo $x=0$ sme už z úvah vylúčili

POZN.2: tu už existuje vnútorná limita
POZN.3: $x=\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(x)|x|$ platí pre všetky reálne x
POZN.4: keď sa bude počítať derivácia naľavo od 0, úpravy budú analogické, akurát budú opačne znamienka pri dosadení
funkčných hodnôt do prvého zlomku, čo nás vyňatím sgn(x) na začiatku prvého riadku (jediný krok kde sa použilo že sme od nuly napravo)
privedie späť k tejto línii výpočtu
teda táto limita nezávisí od toho, či ideme k nule zľava alebo sprava, preto píšem limitu bez + nad nulou
$(sgn(x))^2$ môže byť len 1 (odkazujem zasa na vylúčenie 0 na začiatku)

ak sa ti v tom niečo nepozdáva, skús čo radí ↑ vanok: a vyšetruj samostatne na každej strane, bude to oveľa prehľadnejšie