Matematické Fórum

paulos · 14. 02. 2012 14:00

zdravim,
rad bych se jen ujistil. Dnes vysel v Hospodarskych novinach rozhovor s profesorem Pickem, ve ktere dava priklad teto analogie:
Máme k disposici nekonecne roztahovatelné lano které je privázáno na jedné strane ke zdi a na druhé strane k nárazníku auta. Auto se rozjede konstantní rychlostí a ve stejném momente zacne lézt brouk po lane od zdi smerem k autu. Brouk pochopitelne leze pomaleji nez jede auto. Povede se broukovi dosáhnout auto?
Je mi jasne, ze ho dostihne. Myslim si vsak, ze ho dostihne i kdyz bude auto zrychlovat, jelikoz brouk bude mit vzdy o rad (mocninu) vetsi zrychleni? je to tak?

Pokračuje zde: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=41774

maros91 · 14. 02. 2012 15:28

↑ paulos:

Ahoj, tak já bych se pokusil tvrdit, že ho nedožene při konstantní rychlosti a při zrychlení už vůbec ne

paulos · 14. 02. 2012 15:40

↑ maros91:
aha, tak to sem asi ve spatny sekci.

Jan Jícha · 14. 02. 2012 15:46

Ahoj, oficiální řešení zní takto:

"1) Rychlost auta= n * rychlost chrobaka.
2) Rozdelte lano na n+1 castí.
3) Zacatek kazdé casti se vzdaluje od konce casti rychlosti auta/(n+1).
4) Jelikoz rychlost chrobaka je vyssi, dostane se od zacatku kazdé casti ke konci."

paulos · 14. 02. 2012 15:50

to je reseni te casti, ktera je mi jasna (auto jede konstantni rychlosti), ale me jde o to, kdyz auto zrychluje konstantnim zrychlenim a.

maros91

↑ Honza Matika:

Dobře, jen něco dodám, neříkam, že to je dobře, prostě jen tak střelím.
Kdyby se to lano navinovalo z bubnu ve stěně a bylo nekonečně dlouhé, brouk by auto dohnal, protože má rychlost auta + svojí. Musel by jen překonat vlastní silou vzdalenost lana k autu.
V úloze je napsano "Máme k disposici nekonecne roztahovatelné lano které je privázáno na jedné strane ke zdi a na druhé strane k nárazníku auta."
Tak jsem pochopil, že se natahuje, třeba jako guma. Broučka máme třeba ve středu a jde si svojí rychlosti. Auto jede x krát rychleji. Takže se například za hodinu lano prodlouží z 0,00...1km na 100 km, tudíž střed lana se dostane na 50km, brouček si mezitím ujde dejme tomu kilometr. Je 49km od auta. Další hodina, lano dlouhé 200km, 51ní km se dostane na 102hý + 1km co ujde brouk.... Brouk 97km od auta. Řada pokračuje dál...
Jen k zamyšlení, chytřejší hlavy mi to kdyžtak vyvráti ;)

Rumburak

↑ paulos:
Tato pěkná úloha mne celkem dostala. Metodika jejího řešení spadá do oblasti pokročilejší matematiky (diferenciální rovnice). I když pro většinu středoškoláků,
do jejichž sekce byla úloha zařazena, nebude takové řešení asi srozumitelné, dám ho sem - aspoň pro inspiraci k dalšímu studiu.

Předpokládejme, že $L>0$ je délka lana při nulovém napětí, auto se začne pohybovat v okamžiku $t = 0$ , silnici považujme za souřadnicovou osu.
Počáteční bod lana (v němž je připevněno ke zdi) nechť má souřadnici $0$ , koncový bod lana (v němž je připevněno k autu) v čase $t < 0$ bude mít
souřadnici $L$ .

Uvažujme obecný bod lana (identifikovatelný např. barevnou značkou), jehož souřadnice $x(t)$ je funkcí času. Pro počáteční bod je tato funkce identicky
rovna nule, pro koncový bod ji můžeme vyjádřit ve tvaru $Lf(t)$ , kde o funkci $f$ předpokládejme, že je rostoucí, hladká (má spojitou derivaci) a splňuje
podmínku $f(0) = 1$ . (Speciálně při rovnoměrném pohybu bude $f(t) = 1 + ct\,, c > 0$ , kde $cL$ je konstantní rychlost auta, při rovnoměrně
zrychleném pohybu by bylo $f(t) = 1 + ct + at^2\,, c > 0, a > 0$ , kde $cL$ je počáteční rychlost auta a $2La$ zrychlení. )

Protažení lana pod vlivem tahu auta se po celé délce lana projevuje rovnoměrně, takže pro souřadnici obecného bodu lana platí

(1) $\frac{x(t)}{Lf(t)} = \frac{x(0)}{Lf(0)} = \frac{x(0)}{L}$ , čili $x(t) = x(0)f(t)$ ,

rychlost pohybu tohoto bodu vzhledem k silnici bude dána derivací této funkce podle času, tedy

(2) $x'(t) = x(0)f'(t)$ , odtud po dosazení za $x(0)$ z (1) obdržíme $x'(t) = \frac{f'(t)}{f(t)}\,\,x(t)$ .

Brouk leze po laně směrem k autu konstantní rychlostí $v > 0$ vzhledem ke své okamžité poloze na laně. Nechť $y(t)$ je souřadnice brouka v okamžiku $t$ .
Potom $y'(t)$ bude značit rychlost brouka vzhledem k silnici a bude pro ni platit vztah

(3) $y'(t) = \frac{f'(t)}{f(t)}\,\,y(t) + v$ ,

kde v součtu vpravo je prvním členem vyjádřena (dle (2)) rychlost pohybu samotmého bodu, v němž se brouk momentálně nachází - složení této rychlosti
s rychlostí pohybu brouka po laně zde pojímáme ve smyslu Newtonovy fyziky :-) .

Formule (3) představuje diferenciální rovnici pro neznámou funkci $y$ . Její řešení provedeme ve dvou krocích.

I. Rovnici (3) zjednodušíme na $x'(t) = \frac{f'(t)}{f(t)}\,\,x(t)$ , jejímž řešením je - jak již víme z (1) - např. $x(t) = x(0)f(t)$ , obecně $x(t) = Af(t)$ ,
kde $A$ může být libovolná konstanta.

II. Funkci $y$ řešící rovnici (3) hledejme ve tvaru $y(t) = A(t)f(t)$ , kde $A$ už nebude konstanta, ale funkce (tento postup nese název "metoda variace konstanty").
Dosazením tohoto předpokladu do (3) dostáváme

$A'f + Af' = \frac{f'}{f}\,\,Af + v$ ,

odtud $A'f = v$ , $A' = v\cdot \frac{1}{f}$ , integrací $A(t) = v\,F(t) + B$ , kde $F(t) = \int_0^t \frac{1}{f(\tau)}\,\mathrm{d}\tau$ , $B$ je integrační konstanta.

Obecným řešením rovnice (3) tedy je $y(t) = (v\,F(t) + B) f(t)$ , dosazením počáteční podmínky $y(0) = 0$ pro pohyb brouka snadno získáme
$B = 0$ , takže můžeme konečně říci, že bohyb brouka vůči silnici je popsán rovnicí

$y(t) = v\, f(t) \int_0^t \frac{1}{f(\tau)}\,\mathrm{d}\tau$ .

Odpověď na otázku, zda brouk může v konečném čase dostihnout auto, závisí na řešitelnosti rovnice $y(t) = L\,f(t)$ s neznámou $t$ , tedy rovnice

(4) $\int_0^t \frac{1}{f(\tau)}\,\mathrm{d}\tau = \frac{L}{v}$ .

V případě $f(t) = 1 + ct\,, c > 0$ má integrál v (4) hodnotu $\frac {1}{c}\,\ln (1+ct)$ a rovnice (4) řešení $t = \frac {1}{c}$\mathrm{e}^{\frac{cL}{v}} - 1$$ , jak můžeme snadno zjistit.
Rovnice (4) je řešitelná vždy, když platí

$\lim_{t \to +\infty} \int_0^t \frac{1}{f(\tau)}\,\mathrm{d}\tau = +\infty$ .

Pokud by tato podmínka splněna nebyla, což je případ funkce $f(t) = 1 + ct + at^2\,, c > 0, a > 0$ popisující rovnoměrně zrychlený pohyb auta,
pak řešení rovnice (4) existovat nemusí.

paulos · 15. 02. 2012 16:17

↑ Rumburak:diky moc

maros91 · 16. 02. 2012 02:08

↑ Rumburak:

Hodně drsné zdůvodnění, samozřejmě tomu moc nerozumím, jen bych se chtěl zeptat, jestli něco co jsem napsal v odkazu č.6 je aspoň trošku dobře, jediné co jsem tak pochopil je, že při zrychlení brouk auto nedožene. Tak prosím trošku laicky, jestli by se to dalo popsat. Děkuji :)

Rumburak

↑ maros91:

Ta úvaha okolo situace, kdy se lano odvíjí z bubnu umístěného "u zdi", aniž by se při tom lano protahovalo, je správná. Tuto situaci nazvěme situací A.

Duální situace B by vznikla, pokud by buben s navinutým lanem byl umístěn na autě - pak by brouček měl šanci dostihnout auto jedině tehdy, když by
dokázal postupovat rychleji něž auto.

Situace v naší úloze je pro broučka méně výhodná než situace A, avšak je výhodnější než situace B. Kdyby brouček v určitém bodě lana zůstal stát, pak
poměr jeho vzdálenosti ode zdi ku vzdálenosti auta ode zdi by nadále zůstal konstantní, ale když se pohybuje směrem k autu, tak se tento poměr zvětšuje
a při rovnoměrném pohybu obou dosáhne v konečném čase hodnoty 1, jak náznačeno v mém výpočtu .

Zkusme ještě podrobněji prozkoumat případ rovnoměrně zrychleného pohybu auta (u brouka stále předpokládáme konstantní rychlost vzhledem k jeho
okamžité poloze na laně). V mém předchozím rozboru položme $f(t) = 1 + at^2\,, a > 0$ , takže auto bude vykonávat rovnoměrně zrychlený pohyb
se zrychlením velikosti $2La$ . Dále bude

$F(t) = \int_0^t \frac{1}{f(\tau)}\,\mathrm{d}\tau = \int_0^t \frac{1}{1 + a\tau^2}\,\mathrm{d}\tau = \frac{1}{\sqrt{a}}\int_0^t \frac{\sqrt{a}\,\mathrm{d}\tau}{1 + (\sqrt{a}\,\tau)^2} = \frac{1}{\sqrt{a}}\int_0^{\sqrt{a}\,t} \frac{\mathrm{d}\sigma}{1 + \sigma^2} = \frac{1}{\sqrt{a}}\,\arctan \sqrt{a}\,t$ ,
$\lim_{t \to +\infty} F(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{a}}\,\arctan \sqrt{a}\,t = \frac {\pi}{2\,\sqrt{a}} < +\infty$ ,

rostoucí spojitá funkce $F(t)$ tedy nabývá pro $t \in [0, +\infty)$ právě všech hodnot z intervalu $\[0, \frac {\pi}{2\,\sqrt{a}}\)$ , odtud vyplývá, že rovnice (4) , tj. v tomto
případě rovnice $\frac{1}{\sqrt{a}}\,\arctan \sqrt{a}\,t = \frac{L}{v}$ , je řešitelná, práve když $\frac{L}{v} \in \[0, \frac {\pi}{2\,\sqrt{a}}\)$ . Za tohoto předpokladu tedy brouk ještě dostihne auto ,
a sice v čase $t = \frac{1}{\sqrt{a}}\,\tan \frac{L\sqrt{a}}{v}$ , což je řešení aktuální varianty rovnice (4).

Kdo by na první pohled řekl, že se u této úlohy setkáme s funkcí tangens, že ?

Řešit takovéto složitější úlohy pouze "selským rozumem" bohužel není možné, intuice snadno může vést k nepřesným a chybným závěrům.