Matematické Fórum

Saturday · 07. 10. 2008 23:27

Ve skriptech máme uvedeno, že: množina X je otevřená podmnožina metrického prostoru $(X, d)$

Důkaz je prý triviální, ale já stále bádám nad tím, proč to nutně musí být pravda.

Z definice může být metrickým prostorem např. interval reálných čísel <0;1) s metrikou d(x,y) = |x - y|

Bod 0 by měl dělat problémy, ne? Jelikož nenajdu epsilonové okolí bodu 0, tak aby bylo podmnožinou množiny X. Kde tedy dělám chybu?

Díky za pomoc!

Lishaak · 08. 10. 2008 00:09

Ted abych nekecal, ale jestli si dobre vzpominam na metricke prostory, tak otevrena mnozina je takova, ktera s kazdym bodem obsahuje i nejake jeho okoli. To prece neni pro nulu problem. Delta okoli nuly jsou proste vsechna cisla y z X, pro ktera plati |y-0| < delta, tedy intervaly <0, delta). Takze s bodem 0 mnozina <0, 1) obsahuje i nejake okoli bodu 0, napriklad intrval <0, 0.5).

Saturday · 08. 10. 2008 00:18

Takze se predpoklada, ze vne X nic neexistuje a epsilonove okoli v tom to pripade neni "kulove" (z geometrickeho pohledu), je to tak?

Otevrenou mnozinu mas definovanou spravne :-)

Kondr · 08. 10. 2008 01:54

↑ Saturday:Ano, vně X nic neexistuje. A tvar koulí v X je dán metrikou na X, proto se nemusí podobat koulím v eukleidovských prostorech (v taxíkářské/newyorské metrice je třeba koulí zobecněný osmistěn, v maximové zobecněná krychle).
V metrických prostorech se holt musí upustit od intuice: třeba v prostoru $(-1,0)\cup(0,1)$ se standardní metrikou d(x,y)=|x-y| je (0,1) otevřená i uzavřená množina současně.

Saturday · 08. 10. 2008 07:19

↑ Kondr: Díky ;-)

Matematické Fórum

#1 07. 10. 2008 23:27

Metrický prostor, otevřená množina

#2 08. 10. 2008 00:09

Re: Metrický prostor, otevřená množina

#3 08. 10. 2008 00:18

Re: Metrický prostor, otevřená množina

#4 08. 10. 2008 01:54

Re: Metrický prostor, otevřená množina

#5 08. 10. 2008 07:19

Re: Metrický prostor, otevřená množina

Zápatí