Matematické Fórum

zdenek_s · 06. 03. 2012 09:09

dobré ráno
mylně jsem se domníval, že tomu rozumím. Mám zadání:
Ze skupiny vektorů $\{u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}\}$ vyberte libovolnou bázi jejího lineárního obalu a zbylé vektory vyjádřete jako lineární kombinaci vybrané báze:
$u_{1}=(0;1;2), u_{2}=(1;-10;1), u_{3}=(1;1;1), u_{4}=(2;1;-2)$

podle mě je báze skupina lineárně nezávislých vektorů, tedy v tomto případě pouze $u_{1}$ a $u_{2}$
jenže jsem si myslel, že bázi musí tvořit (ve $V_{3}$ ) 3 vektory. že dva jsou málo. Jak pak mohu vyjádřit zbylé dva vektory pomocí něčeho, co já nepovapožuji za kompletní bázi?
omlouvám se, asi motám hruška s jabkama a jen neznám základní pojmy....

Díky za nakopnutí
Zdeněk

jardofpr · 06. 03. 2012 09:24

↑ zdenek_s:

ahoj, bázu toho priestoru musia naozaj tvoriť 3 LN vektory ..
v zadanej skupine sa 3 také vektory nachádzajú, chyba bude v určovaní lineárnej nezávislosti

zdenek_s · 06. 03. 2012 09:45

díky
to je se sbírky příkladů a takových je tam víc (podle výsledků, že dostanu menší počet vektorů. než je dimenze). a i ve výsledcích jsou jen první dva označeny jako nezávislé

pokud by byly skutečně jen 2 LNZ, pak bych to musel řešit s "parametrm", že?

děkuji

Rumburak

Ahoj.
Nechť $W$ je lineární obal vektorů

(1) $u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}$ .

Jsou to 4 vektory z $V_3$ , jehož dimense je pouze 3, proto jsou nutně lineárně závislé.
Prostor $W$ je podprostorem ve $V_3$ , takže $\dim W \le \dim V_3 =3$ . Na první pohled je zřejmě, že jsou nezávislé např. vektory $u_{1},u_{3}$ ,
což znamená, že bude $\dim W \ge 2$ , celkem tedy $\dim W \in \{2, 3\}$ .

Důležitá je otázka: který z vektorů $u_{2}, u_{4}$ je lin. závislý resp. nezávislý na vektorech $u_{1}, u_{3}$ ?
Možnosti:

1) Každý u vektrorů $u_{2}, u_{4}$ je lineární kombinací vektorů $u_{1}, u_{3}$ . Potom báze prostoru $W$ je tvořena vektory $u_{1}, u_{3}$ .

2) Některý z vektorů $u_{2}, u_{4}$ , např. $u_{4}$ , není lin. závislý ne vektorech $u_{1}, u_{3}$ , tj. vektory $u_{1}, u_{3}, u_{4}$ jsou lin. nezávislé.
To znamená, že $\dim W \ge 3$ , což podle $\dim W \le \dim V_3 =3$ dále znamená $\dim W = 3$ a $W = V_3$
a bází prostoru $W$ bude $\{u_{1}, u_{3}, u_{4}\}$ .

Tolik idea řešení. Stačí ?

jardofpr

↑ zdenek_s:

takto, ja som sa vo svojom príspevku zameral na to že tých lin.nez. vektorov je v danej skupine viac ako 2,
inak nie je pravda že podpriestory priestoru s dimenziou 3 musia mať dimenziu 3 (taký je tam vlastne len jeden),
hľadáš lin.obal danej skupiny vektorov, čo môže byť podpriestor s menšou dimenziou
(ako píše podrobnejšie a prehľadne ↑ Rumburak:)

zdenek_s · 06. 03. 2012 10:45

Díky moc oběma. jdu to zkusit pochopit.

pokud by tedy byla dimenze W jen 2, tudíž by mělo jít vyjádřit dva vektory pomocí báze, tedy něco jako $u_{3}=c_{1}.u_{1}+c_{2}.u_{2}$

kde ale vektor $c = (c_{1}; c_{2})$ je jen dvourozměrný, nicméně řešení výše uvedené rovnice povede k soustavě 3 rovnic o dvou neznámých, ne? není to trochu moc?

Zdeněk

Rumburak · 06. 03. 2012 11:11

↑ zdenek_s:
Pokud by nastala podle mého příspěvku ↑ Rumburak: možnost 1, pak bychom skutečně museli (abychom splnili zadání úlohy)
nalézt čísla $x, y$ a čísla $v, w$ tak, aby ptatilo $u_{2}= xu_{1}+yu_{3}$ a $u_{4}= vu_{1}+wu_{3}$ . V obou případech jde o soustavu
3 rovnic o 2 neznámých, která je řešitelná jedině když rovnice jsou lineárně závislé, což je ekvivalentní s tím , že vektory $u_{2}, u_{1}, u_{3}$
(resp. $u_{4}, u_{1}, u_{3}$ ) jsou lin. závislé . Zkoumání řešitelnosti těchto soustav je jednou z možných metod, jak rozhodnout o lin. nezávíslosti
těchto dvou seznamů vektorů (jinou možností by bylo sestavit matici ze souřadnic příslušné trojice vektorů a učit její hodnost , nebo
spočítat její determinant a z jeho nenulové či nulové hodnoty učinit závěr).