Matematické Fórum

NeoMartin · 07. 03. 2012 10:17

Dobrý den, chtěl bych se zeptat jestli je příklad vyřešen správně.

Jeho řešení je:

Rozhodněte, zda k funkci f existuje funkce inverzní. V kladném případě ji určete:

Děkuji za vyjádření.

Rumburak

↑ NeoMartin:
Zdravím.

A k jakému závěru jsi dospěl Ty? Z Tvého výpočtu to není úplně jasné. Správné řešení (podrobnosti výpočtu už nevypisuji):

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Honzc · 07. 03. 2012 14:26 — Editoval Honzc (07. 03. 2012 14:32)

↑ Rumburak:
Zdravím,
můžu mít jednu otázku?
Jak je to tedy s funkcemi y=sinx (která také není na svém definičním oboru prostá) a k ní inverzní funkci y=arcsinx.
Musíme tedy pokud chceme definovat arcsinx omezit funkci sinx pouze na nějaký interval? (např. <-pi/2,pi/2>)
U toho původního příkladu (y=x+1/x) bychom tedy museli dát omezení pro x? např. x je z intervalu (-oo,-1) nebo (1,oo), případně interval <-1,1>,x<>0

Po editaci:
Děkuji za případné osvětlení. Budu tady až zítra.

Rumburak

↑ Honzc:

Ahoj. V zásadě je to tak, jak píšeš.

Také jde o to, jak vnímáme pojem funkce. V klasické analýze se funkce obvykle zavádí tak trochu jako primitivní pojem (ve smyslu "prvotní", "základni",
"elemntární") s neformálním vysvětlením, že jde o jakési "pravidlo", které zvolené hodnotě proměnné x (z určité množiny) přiřadí jednu určitou hodnotu
proměnné y , při čemž tato hodnota proměnné y obecně závisí na volbě oné hodnoty proměnné x. Ono "pravidlo" je obvykle dáno nějakým početním
předpisem, např.

(1) $y = x^2$ ,

který hraje zásadní roli, takže i když z povahy konkretní úlohy je potřeba přirozený definiční obor funkce zúžit (například když nás funkce (1) zajímá pouze
v kontextu s výpočtem obsahu čtverce), stále hovoříme o funkci $y = x^2$ nebo $f(x) = x^2$ či pouze $x^2$ . Na takovémto základě může být otázka
inversní funkce poněkud diskutabilní - přesně v tom smyslu, jak naznačuješ.

Naproti tomu v teorii množin je k pojmu funkce přistupováno precisněji. Nejprve se zavádí pojem relace $R$ jakožto části kart. součinu $A \times B$ dvou množin
(obecněji tříd) $A, B$ a předpisem $R^{-1} = \{[y,x] \in B\times A ; [x, y] \in R \}$ se definuje relace $R^{-1}$ inversní k $R$ , např. k relaci "<" je inversní
relací ">". Funkcí pak nazýváme takovou relaci $f$ , která splňuje podmínku $\forall_{[x, y] \in f}([x, w] \in f \Rightarrow w = y)$ (a píšeme $y = f(x)$ ).
Zřejmým způsobem by se zavedl definiční obor funkce (provádí se to už na úrovni relace, pro niž se definuje její doména, která je předobrazem definičního
oboru funkce, a kodoména, která je předobrazem oboru hodnot funkce). Ke každé funkci $f$ tedy existuje relace $f^{-1}$ , která ale obecně nemusí být funkcí ;
$f^{-1}$ funkcí je právě tehdy, je-li funkce $f$ prostá. Vzhledem k tomu, že v TM je funkce vnímána jako množina (obecněji třída) a zúžením jejího definičního
oboru dostaneme jinou množinu (třídu) a tedy i jinou funkci, k nějakým spekulacím o relativisaci inversní funkce na vhodně zvolených částech defničního oboru
zde mnoho prostoru není.
Z tohoto pohledu je arcsin inversní funkcí k jisté funkci S, která vznikne z funkce sin zúžením jejího definičního oboru na interval <-pi/2, pi/2> .