Matematické Fórum

cs.pata

Čaute zůstal jsem na mrtvém bodě:-( prosím neporadil by mi někdo jak mam dál postupovat ?

zadání $\int_{}^{}\frac{1}{1+sin^{2}x}dx$ použil jsem substituci $t=tg\frac{x}{2}$ a dostal se k racionalní funkci $2\int_{}^{}\frac{t^{2}+1}{t^{4}+6t^{2}+1}dt$ tuším že se to má ted rozdělit na parciální zlomky ale nevím jak mám rozložit jmenovatele:( prosím o radu

Andrejka3

Nešla by zde použít substituce $t=tgx$ ?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

cs.pata · 08. 03. 2012 10:39

↑ Andrejka3:ale když toho jmenovatele roznásobíš máš opět racionalní kde v jmenovateli je t na 4

Andrejka3 · 08. 03. 2012 10:41

↑ cs.pata:
První zlomek je jednička.

cs.pata · 08. 03. 2012 10:44

↑ Andrejka3: jo aha promin neuvedomil jsem si to

cs.pata · 08. 03. 2012 10:47

↑ cs.pata:rozumín a jak by se ten zbytek ted integroval ???

Andrejka3 · 08. 03. 2012 10:49

↑ cs.pata:
Ten by ti měl připomenout jeden základní integrál.
Zkus popřemýšlet a tipnout si aspoň.

cs.pata

↑ Andrejka3: no přípomíná mi to integral pro arctg
podle vzorce by to mělo být $\int_{}^{}\frac{1}{1+ax^{2}}dx=\frac{1}{a}arctg\frac{x}{a}+c$

a když dosadím tak takhle ? $\int_{}^{}\frac{1}{1+2t^{2}}dt=\frac{1}{\sqrt{2}}arctg\frac{t}{\sqrt{2}}+c$

Andrejka3 · 08. 03. 2012 10:59

Ano, vede to na arctg. Jestli to je dobře můžeš ověřit zpětně derivováním.
Já osobně bych si takový vzorec nezapamatovala. Stačí mi vědět, že
1/(1+x^2) integrovano da arctgx.
Jen si uprav v těch vzorcích, cos napsal proměnné - jednou tam máš t, jindy x.

kaja.marik · 08. 03. 2012 11:03

↑ cs.pata:ten vzorec mate urcite dobre? Me prijde ze ne.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=in … 2B2*x^2%29

cs.pata · 08. 03. 2012 11:05

↑ Andrejka3: opraveno, zkontroloval jsem ten výpočet na MAW a tam výsledek vyšel po dosazení

$\frac{1}{\sqrt{2}}arctg(\frac{2tgx}{\sqrt{2}})+C$ odkud se tam vzala ta 2 u tgx nevíš ?

Andrejka3 · 08. 03. 2012 11:14

↑ cs.pata:
Jistě, nejdříve musíš převést výraz
$\frac{1}{1+2x^2}$ na výraz
$c\frac{1}{1+y^2}$ a zjistit $y(x)$ to je také substituce, která vyhodí nějakou konstantu, když si vyjádříš $\mathrm{d}x=? \mathrm{d}y$ a povede na výsledek.
Měl bys umět spočítat integrály typu $\frac{1}{a+bx^2}$ , kde $a,b > 0$ . Tyto vedou totiž na arctg a s takovými příklady se setkáš asi ještě mnohokrát. Právě při integraci racionálních fcí a při goniometrických substitucích.

cs.pata

↑ Andrejka3:takže jako udělat ješte jednu substituci ? $\int_{}^{}\frac{1}{2t^{2}+1}dt=|y=\sqrt{2}t,dy=\sqrt{2}dt|=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{}^{}\frac{1}{y^{2}+1}dy=\frac{1}{\sqrt{2}}arctgy+c=\frac{1}{\sqrt{2}}arctg(\sqrt{2}t)+C$ takhle to mám chápat ???

Andrejka3 · 08. 03. 2012 11:30

↑ cs.pata:
Chápeš to správně. Je tam ale chyba.
Totiž, pokud píšeš $y=2t$ , pak $y^2=4t^2$ a ne $2t^2$ , jak by sis přál.
Pišme tedy $2t^2 = \left( \sqrt{2} t \right)^2$ a položme $y=\sqrt{2} t$ . Tak si tu drobnost oprav.

Honzc · 08. 03. 2012 11:30 — Editoval Honzc (08. 03. 2012 11:32)

↑ cs.pata:
Ten tvůj vzorec $\int_{}^{}\frac{1}{1+ax^{2}}dx=\frac{1}{a}arctg\frac{x}{a}+c$
má být
$\int_{}^{}\frac{1}{1+a^{2}x^{2}}dx=\frac{1}{a}arctg({a \; x})+c$
On se většinou píše ve tvaru
$\int_{}^{}\frac{1}{a^{2}+x^{2}}dx=\frac{1}{a}arctg\frac{x}{a}+c$

cs.pata · 08. 03. 2012 11:37

↑ Honzc: aha to jsem neveděl, tak to je dost matoucí diky

cs.pata · 08. 03. 2012 11:39

↑ Andrejka3:aha opraveno, Diky za tvůj čas už ten příklad chápu :-)

Andrejka3

↑ cs.pata:
Rádo se stalo.
Ještě jen dvě poznámky.
1) Nezapomeň vyjádřit výsledek v původní proměnné.
2) Při substitucích sleduj, na jakých intervalech substituuješ. Tady v tomto příkladě je problém, že hledáš primitivní fci na celém $\mathbb{R}$ - víš, že existuje, protože integrand je spojitý v $\mathbb{R}$ .
Kdežto substituce $t=\text{tg}x$ platí jen na nějakém intervalu délky $\pi$ . Obvykle se pak musí řešení na jednotlivých intervalech napojovat. Toto napojování je taky součástí výsledku a mělo by se dopočítat.
Abych se vyjádřila jasně:
$\frac{1}{\sqrt{2}}arctg(\sqrt{2}t)+C=\frac{1}{\sqrt{2}}arctg(\sqrt{2}\text{tg}x)+C$ . Tento výsledek ale platí jen v intervalech $(-\pi/2+k\pi,\pi/2+k\pi),\; k \in \mathbb{Z}$ . Tedy tato fce skáče v bodech nespojitosti - krajních bodech intervalů, jež jsem napsala. Je třeba spočítat výšku těch skoků a tu fci opravit na spojitou.
Tento problém pramení z inverze substituce $t=\text{tg}x$ . Můžeme si volit, na jakých intervalech chceme inverzi tangens.
edit: radím se podívat na graf té fce v nějakém programu a bude ti hned jasné, jak to je.
Neumim s tim zacházet ale zhruba takto.

Matematické Fórum

#1 08. 03. 2012 10:00 — Editoval cs.pata (08. 03. 2012 10:03)

Integrace goniometrických funkcí

#2 08. 03. 2012 10:30 — Editoval Andrejka3 (08. 03. 2012 10:31)

Re: Integrace goniometrických funkcí

#3 08. 03. 2012 10:39

Re: Integrace goniometrických funkcí

#4 08. 03. 2012 10:41

Re: Integrace goniometrických funkcí

#5 08. 03. 2012 10:44

Re: Integrace goniometrických funkcí

#6 08. 03. 2012 10:47

Re: Integrace goniometrických funkcí

#7 08. 03. 2012 10:49

Re: Integrace goniometrických funkcí

#8 08. 03. 2012 10:55 — Editoval cs.pata (08. 03. 2012 10:59)

Re: Integrace goniometrických funkcí

#9 08. 03. 2012 10:59

Re: Integrace goniometrických funkcí

#10 08. 03. 2012 11:03

Re: Integrace goniometrických funkcí

#11 08. 03. 2012 11:05

Re: Integrace goniometrických funkcí

#12 08. 03. 2012 11:14

Re: Integrace goniometrických funkcí

#13 08. 03. 2012 11:25 — Editoval cs.pata (08. 03. 2012 11:36)

Re: Integrace goniometrických funkcí

#14 08. 03. 2012 11:30

Re: Integrace goniometrických funkcí

#15 08. 03. 2012 11:30 — Editoval Honzc (08. 03. 2012 11:32)

Re: Integrace goniometrických funkcí

#16 08. 03. 2012 11:37

Re: Integrace goniometrických funkcí

#17 08. 03. 2012 11:39

Re: Integrace goniometrických funkcí

#18 08. 03. 2012 11:45 — Editoval Andrejka3 (08. 03. 2012 12:28)

Re: Integrace goniometrických funkcí

Zápatí