Matematické Fórum

StupidMan · 12. 10. 2008 11:13

prosim pomocte mi stimhle prikladem:
sinx+cosx=1

Marian · 12. 10. 2008 11:29 — Editoval Marian (12. 10. 2008 11:34)

↑ StupidMan:

Chtělo by se to více snažit, takže nečekej, že ti to tady vyřeším. Typ této úlohy totiž patří k základním typům na střední škole, předpokládám tedy, že v učebnici, kterou používáš, tento typ probraný je.

Pro vyřešení tvé rovnice užij následujících goniometrických identit

$\boxed{\sin (2t)=2\cdot\sin t\cdot\cos t},\qquad\boxed{\cos (2t)=\cos ^2t-\sin ^2t},\qquad\boxed{1=\sin^2t+\cos ^2t}.$

Dosaď za t hodnotu x/2 a transformuj tak elementy obsažené ve tvé rovnici, tj. postupně sin(x), cos(x) na levé straně a 1 na pravé straně. Dále je úloha triviální.

Olin · 12. 10. 2008 11:32 — Editoval Olin (12. 10. 2008 11:32)

Já jsem to řešil takto:

$\sin x + \cos x = 1\nl \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1\nl 2 \sin x \cos x = 0$
Takže je sinus nebo kosinus roven nule.

Pokud je nulový sinus:
$\sin x = 0 \: \wedge \: \cos x = 1\nl x = 2k\pi,\, k \in \mathbb Z$

Pokud je nulový kosinus:
$\sin x = 1 \: \wedge \: \cos x = 0\nl x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\, k \in \mathbb Z$

EDIT: Omlouvám se Marianovi, začal jsem to řešit už dřív a nevšiml jsem si jeho příspěvku.

Marian · 12. 10. 2008 11:36

↑ Olin:

Vůbec nevadí. Jsou tady dvě rozdílná řešení. To tvé sice využíva neekvivalentní úpravu (umocnění na druhou), ale později se ukazuje, že další kořeny nijak nenabalíme touto úpravou. Já jse, dal návod jiný. A? si autor vybere.

Zdravím!

Jirda · 12. 10. 2008 18:02

↑ StupidMan:
2cos x

StupidMan · 12. 10. 2008 18:15

mam tenhle priklad a uz stim lamu hlavu nekolik hodin a porad stim nevim rady
tgx-sinx+cosx=1

Pavel Brožek

↑ StupidMan:

$\tan x-\sin x+\cos x=1\qquad\Leftrightarrow\qquad \cos x-\sin x=1-\tan x$

Nyní umocním obě strany na druhou a upravím.

$\Rightarrow \cos^2x-2\sin x\cos x+\sin^2x=1-2\tan x+\tan^2 x \qquad\Leftrightarrow\qquad -2\sin x\cos x=-2\frac{\sin x}{\cos{x}}+\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$

Z toho tedy máme nutnou podmínku pro řešení

$\sin x=0\qquad\vee\qquad -2\cos x=-2\frac{1}{\cos{x}}+\frac{\sin x}{\cos^2 x}$

1. Předpokládejme tedy, že řešení splňuje $\sin x=0$ . Pak $\tan x=0$ a rovnice, kterou řešíme se zjednodušší na $\cos x=1$ . Z toho je zřejmé řešení $x=2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}$ .

2. Předpokládejme, že $-2\cos x=-2\frac{1}{\cos{x}}+\frac{\sin x}{\cos^2 x}$ a $\sin x\neq0$ (pro $\sin x=0$ jsme to už vyřešili). Aby vůbec původní rovnice dávala smysl, tak musí být $\cos x\neq0$ a můžeme jím tedy násobit.

$-2\cos x=-2\frac{1}{\cos{x}}+\frac{\sin x}{\cos^2 x}\qquad\Leftrightarrow\qquad-2\cos^3x=-2\cos x+\sin x\qquad\Leftrightarrow\nl \Leftrightarrow\qquad -2\cos x (1-\sin^2 x)=-2\cos x+\sin x\qquad\Leftrightarrow\qquad 2\cos x \sin^2 x=\sin x\qquad\Leftrightarrow\nl \Leftrightarrow\qquad2\cos x \sin x=1\qquad\Leftrightarrow\qquad \sin(2x)=1 \qquad\Leftrightarrow\qquad 2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z} \qquad\Leftrightarrow\qquad x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\,k\in\mathbb{Z}$

Zkusíme tedy, jestli tyto x splňují původní rovnici - dosadíme do levé strany.

$\tan $\frac{\pi}{4}+k\pi$-\sin $\frac{\pi}{4}+k\pi$+\cos $\frac{\pi}{4}+k\pi$=\tan\frac{\pi}{4}-(\sin\frac{\pi}{4}\cos{k\pi}+\cos\frac{\pi}{4}\sin{k\pi})+(\cos\frac{\pi}{4}\cos{k\pi}-\sin\frac{\pi}{4}\sin{k\pi})=\nl =1-\sin\frac{\pi}{4}\cos{k\pi}+\cos\frac{\pi}{4}\cos{k\pi}=1-\frac{\sqrt2}{2}\cos k\pi+\frac{\sqrt2}{2}\cos k\pi=1+0=1$

Můžeme tedy shrnout všechna řešení: $x\in\{2k\pi;\,\frac{\pi}{4}+k\pi\,|\,k\in\mathbb{Z}\}$

didik · 12. 10. 2008 19:35

Myslím, že existuje způsob řešení bez neekvivalentních úprav, které mi přijde jednoduší.
$\tan x -\sin x +cos x=1 \nl \frac{\sin x}{\cos x}-\sin x +\cos x=1 \nl \sin x- \sin x \cdot \cos x + \cos^2 x=\cos x \nl \sin x- \sin x \cdot \cos x + \cos^2 x-\cos x=0 \nl-\sin x (\cos x-1)+\cos x(\cos x -1)=0 \nl (\cos x-\sin x)(\cos x-1)=0$
Dostávám tedy:
$\cos x=1\nl x_1=2k\pi$ nebo $\sin x= \cos x \nl \tan x =1\nl x_2=\frac{\pi}{4}+k\pi$

StupidMan

kolik je prosim a
?

musixx · 13. 10. 2008 16:35

↑ StupidMan: Rekl bych, ze nic rozumneho. Dalo by se traba rict, ze
$\cos\left(\frac3{2\sqrt3}\right)=\cos\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)=\cos\left(\cos\left(\frac\pi6\right)\right)$ ,
ale otazkou je, jestli ti to pomuze...

StupidMan · 13. 10. 2008 18:34

↑ musixx:
jasne ze pomuzes
takze se rovna a
se taky rovna ???

musixx · 14. 10. 2008 08:52

↑ StupidMan: Cosinus je funkce suda, tedy cos(a)=cos(-a). Dal je to o odstraneni odmicniny ze jmenovatele. Ono totiz jak se objevi nejaka $\sqrt3$ ci $\sqrt2$ u sinu/cosinu, cloveku to hned evokuje nejake zname uhly. To ale nebyl tvuj pripad... Takze uplne dobre to ale nemas:

$\cos\left(-\frac2{\sqrt3}\right)=\cos\left(\frac2{\sqrt3}\right)=\cos\left(\frac{2\cdot\sqrt3}{\sqrt3\cdot\sqrt3}\right)=\cos\left(\frac{2\sqrt3}{3}\right)$
a
$\cos\left(\frac3{2\sqrt3}\right)=\cos\left(\frac{\sqrt3\cdot\sqrt3}{2\sqrt3}\right)=\cos\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)$

StupidMan

a kolik je cos ?
u vim ze se to = Pi /6

musixx · 16. 10. 2008 13:17

↑ StupidMan: Ale o tom se tady preci bavim od zacatku. To neni zadny "hezky skolsky uhel". Neni to nahodou tak, ze mas najit takove x, aby $\cos x=\frac{\sqrt3}2$ ?

Matematické Fórum

#1 12. 10. 2008 11:13

goniometricke rovnice

#2 12. 10. 2008 11:29 — Editoval Marian (12. 10. 2008 11:34)

Re: goniometricke rovnice

#3 12. 10. 2008 11:32 — Editoval Olin (12. 10. 2008 11:32)

Re: goniometricke rovnice

#4 12. 10. 2008 11:36

Re: goniometricke rovnice

#5 12. 10. 2008 18:02

Re: goniometricke rovnice

#6 12. 10. 2008 18:15

Re: goniometricke rovnice

#7 12. 10. 2008 18:23 — Editoval BrozekP (12. 10. 2008 19:00)

Re: goniometricke rovnice

#8 12. 10. 2008 19:35

Re: goniometricke rovnice

#9 13. 10. 2008 16:14 — Editoval StupidMan (13. 10. 2008 16:14)

Re: goniometricke rovnice

#10 13. 10. 2008 16:35

Re: goniometricke rovnice

#11 13. 10. 2008 18:34

Re: goniometricke rovnice

#12 14. 10. 2008 08:52

Re: goniometricke rovnice

#13 16. 10. 2008 13:06 — Editoval StupidMan (17. 10. 2008 10:36)

Re: goniometricke rovnice

#14 16. 10. 2008 13:17

Re: goniometricke rovnice

Zápatí