Matematické Fórum

lukasvais · 12. 03. 2012 14:56

ahoj nepomohl by mi nekdo s timto prikladem??

Integrujte pomocí 2. věty o substituci použitím $x=\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}$

tento integrál $\int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{1+x^{2}}}$

vanok · 12. 03. 2012 15:11

Ahoj ↑ lukasvais:,
$x=\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}=\sinh t$
To by malo stacit.

Rumburak

↑ lukasvais:

Ahoj. Jde vlastně o hyperbolickou substituci $x=\sinh t$ bez znalosti hyperbolických funkcí.
Přesvědči se, že $\mathrm{d}x=\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}\,\mathrm{d}t$ , $\sqrt{1+x^{2}} = \frac{e^{t}+e^{-t}}{2}$ .

lukasvais · 12. 03. 2012 15:38

ahoj,

to vím že tento výraz je $sinh$ , ale nevím jak to dasadit a upravit. dekuji za odpoved

Rumburak · 12. 03. 2012 15:44

↑ lukasvais:

Úprava integrálu po substituci se provede pomocí těch vztahů, které jsem uvedl v příspěvku ↑ Rumburak:
(proto jsem na ně upozorňoval).

lukasvais · 12. 03. 2012 15:51

takhle to dasadit??

$\int_{}^{}\frac{1}{\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}}\cdot \frac{e^{t}+e^{-t}}{2}dt$

Rumburak · 12. 03. 2012 15:58

↑ lukasvais:
Ano, takhle ta substituce vyjde - doufám, že je jasné, proč.

lukasvais · 12. 03. 2012 16:24

↑ Rumburak:

upne nevim no :( ale kdyz to zacnu pocitat tak vlastne me vyjde jen

$\int_{}^{}1dt$

to je dobre???

Alivendes · 12. 03. 2012 16:26

A kolik je $\int_{}^{}1dt$ :-) ?

lukasvais · 12. 03. 2012 16:29

↑ Alivendes:

$t$

a za to t?? dosadim co?

Alivendes · 12. 03. 2012 16:34

↑ lukasvais:

$x=\sinh(t)$
$argsinh(x)=t$

Jinými slovy si spočítal známý tabulkový integrál

lukasvais · 12. 03. 2012 16:35

↑ Alivendes:
dekuji :)

Alivendes · 12. 03. 2012 16:36

:-) vrátíš se normálně k substituci v tom kroku, který jsem udělal.

Rumburak · 12. 03. 2012 17:21

↑ lukasvais:

Ano, $\int 1\mathrm{d}t = t + C$ je správný mezivýsledek. To $t$ vypočítáme z rovnice $x=\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}$ .

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

lukasvais · 12. 03. 2012 17:30

↑ Rumburak:
a to vypočtu jak??

Alivendes · 12. 03. 2012 17:32

↑ lukasvais:

Zapomněl jsem, že my teoreticky hyperbolické funkce v tomto cvičení neznáme, pak musíš t vyjádřit pomocí ekvivalentních úprav :-)

lukasvais · 12. 03. 2012 17:33

↑ Alivendes:

a to jak ? :D zrejme pomoci logaritmu ale jak?

Rumburak

↑ lukasvais:

Máš to podrobněji zpracováno v příspěvku ↑ Rumburak:. Zobrazí se to, když klikneš na položku

"Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!"

lukasvais · 12. 03. 2012 23:03

↑ Rumburak:

¨ano máš naprostou pravdu smysl této úlohy bylo obejit sinus hyperbolický

lukasvais · 12. 03. 2012 23:26

↑ Rumburak:

nejak jsem nepobral jak ses dostal ktomu kořenu nemohl bych te poprosit o nejake podobnejsi rozepsani prosim??

Rumburak

↑ lukasvais:
Z rovnice $x=\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}$ chceme vyjádřit $t$ . Nejprve položíme $e^t =u$ , takže zároveň bude $e^{-t} = (e^t)^{-1}=\frac{1}{u}$ , a obojí
dosadíme do první rovnice - dostaneme $x=\frac{u-\frac{1}{u}}{2}$ , odtud postupně $2x = u-\frac{1}{u}$ , $2xu = u^2-1$ , $u^2-2xu-1 = 0$ ,
což je pro nás kvadratická rovnice s neznámou $u$ , která má diskriminant $D = 4x^2 + 4 = 4(x^2 + 1)> 0$ a tedy dva reálné kořeny

$u_{1,2} =\frac{2x\pm\sqrt{D}}{2} = x \pm \sqrt{x^2 + 1}$ .

Z obou těchto kořenů má pro nás význam pouze ten, co je kladný (proměnná $u$ byla zavedena tak, že může nabývat pouze kladných hodnot) ,
tedy kořen $u = u_1 = x + \sqrt{x^2 + 1}$ . Tento výsledek dosadíme do rovnice $e^t =u$ definující proměnnou $u$ a obdržíme tak rovnici
$e^t = x + \sqrt{x^2 + 1}$ pro neznámou $t$ , jejímž řešením je $t = \ln $x + \sqrt{x^2 + 1}$$ .

Podrobněji už to napsat nejde . :-)