Matematické Fórum

tesarin · 13. 03. 2012 22:23

Dobrý den, potřeboval bych prosím pomoci s tímto příkladem, předem děkuji.

Jsou dány roviny $\varrho :5x-3y+2z-5=0, \sigma :2x-y-z-1=0, \tau :4x-3y+7z-7=0$
a) Urči param. rovnici průsečnice p rovin $\varrho , \sigma$
b) Vypočti $\varphi = |\sphericalangle (\varrho ;\tau )|$
c) Zjisti vzájemnou polohu přímky p a roviny $\tau$

tesarin · 14. 03. 2012 17:51

Tento příklad jsem taky vypočetl, a také bych potřeboval ověřit správnost.

a)
$n_{\varrho } = (5;-3;2)$
$n_{\sigma } = (2;-1;-1)$
$\Rightarrow \varrho X\sigma$

$\varrho : 5x-3y+2z-5=0$
$\sigma :2x-y-z-1=0$
__________________

$z=t$
$5x-3y+2t-5=0$
$2x-y-t-1=0$

$5x-3y = -2t+5$
$2x-y = t+1$
_____________

$2I-3II: -3y = -7t+7$ /:(-3)
$y=\frac{7}{3}t - \frac{7}{3}$

$I-3II: -x=-5t+2$ /:(-1)
$x=5t-2$
____________________________

$p: x=5t-2$
$y=\frac{7}{3}t - \frac{7}{3}$
$z=t; t\in R$

jelena · 14. 03. 2012 22:08

Opět děkuji, postup se mi také jeví v pořádku, jen se mi nezdá dobrý výpočet pro vyjádření y:

$2I-3II: -3y = -7t+7$

nemá tam být 2I-5II, můžeš překontrolovat např. dosazením bodu pro z=0, ostatní souřadnice si dopočti, bod musí splňovat rovnice každé z rovin.

tesarin · 14. 03. 2012 23:50

↑ jelena:
Ano, to jsem udělal chybu.
$5x-3y = -2t+5$
$2x-y = t+1$
_____________

$2I-5II: -y = -7t+2$ /:(-1)
$y=7t-5$

$I-3II: -x=-5t+2$ /:(-1)
$x=5t-2$
____________________________

$p: x=5t-2$
$y=7t-5$
$z=t; t\in R$

tesarin · 15. 03. 2012 00:00

b)
$n_{\varrho}=(5;-3;2)$
$n_{\sigma } = (2;-1;1)$

$\cos \varphi '=\frac{|n_{\varrho} * n_{\sigma }|}{|n_{\varrho}|*|n_{\sigma }|}$
$\cos \varphi '= \frac{11}{\sqrt{228}}\doteq 0,9999$
$\varphi '= 43°43'$
$\varphi = 90° - 43°43' = 46°17'$

c) $\tau :4x-3y+7z-7=0$
$p:x=5t-2$
$y=7t-5$
$z=t;t\in R$
_________________________

$p\cap \tau : 4(5t-2)-3(7t-5)+7t-7=0$
$20t-8-21t+15+7t-7=0$
$6t=0$
$t=0$

Tudíž, to znamená?

jelena · 15. 03. 2012 00:14

ano, po opravě (př. 4) je to v pořádku.

b) tady se mi nedá $11$ v čitateli - jak vzniklo? $\cos \varphi '= \frac{11}{\sqrt{228}}\doteq 0,9999$

c) tudíž to znamená, že společný bod má souřadnice z=0, x, y - dopočti dosazením t=0 do parametrického zápisu přímky

tesarin · 15. 03. 2012 15:34

↑ jelena:
b) Tam jsem stejně zjistil chybu, pak ve výpočtu.

$n_{\varrho}=(5;-3;2)$
$n_{\sigma } = (2;-1;1)$

$\cos \varphi '=\frac{|n_{\varrho} * n_{\sigma }|}{|n_{\varrho}|*|n_{\sigma }|}$
$\cos \varphi '=\frac{|(5*2)+(-3)(-1)+2(-1)|}{\sqrt{5^{2}+(-3)^{2}+2^{2}}*\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{2}}}$
$\cos \varphi '= \frac{11}{\sqrt{228}}\doteq 0,7285$
$\varphi '= 43°14'$
$\varphi = 90° - 43°14' = 46°45'$

c) $\tau :4x-3y+7z-7=0$
$p:x=5t-2$
$y=7t-5$
$z=t;t\in R$
_________________________

$p\cap \tau : 4(5t-2)-3(7t-5)+7t-7=0$
$20t-8-21t+15+7t-7=0$
$6t=0$
$t=0$
$\Rightarrow p\cap \tau$