Matematické Fórum

Keeeeke · 17. 03. 2012 19:00

Ahoj, měl bych dotaz, téma tu sice již bylo řešeno (http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=29523) , ale stale si to nedokážu spojit a dojít k nějakému závěru... Rozhodněte, zda množina všech reálných funkcí $f(x) = ax^3 + bx + c; a, b, c \in R$ , tvoří vektorový prostor nad R (s operacemi sčítání funkcí a násobení funkce číslem). Díky všem za snahu.

vanok · 17. 03. 2012 19:31

Ahoj ↑ Keeeeke:,
Ano je.
Akoze mas dokazat, ze ide o vektorovy priestor, staci ukazat ze je to podpriestor priestoru realnych polynomov.
Mozes to dokazat, ze ukazes
1° ze tvoja mnozina ma aspon jeden prvok
2° ze je stabilna pre scitanie
3° ze je stabilna na sucin realnym skalarom

Keeeeke · 17. 03. 2012 21:26

↑ vanok:
Díky za snahu, ale stejně v tom plavu :-( a nevim,jak to dokazat.

vanok · 17. 03. 2012 21:36

↑ Keeeeke:

Tak tu mas zaciatok, ako na to:
1° nulova funkcia je v mnozine tvojich funkcii ( staci a=b=c=0)
2° $f(x) = a_1x^3 + b_1x + c_1$
$g(x) = a_2x^3 + b_2x + c_2$ su 2 funkcie z tvojej mnoziny

Ich sucet je....

Keeeeke · 18. 03. 2012 15:46

↑ vanok:
Myslim si, že součet funkcí je:
$f(x)+g(x)=x^3(a_1+a_2)+x(b_1+b_2)+c_1+c_2$

ale žádný závěr nevidím :-(, můžeš mi ještě něco naznačit?

vanok · 18. 03. 2012 16:02 — Editoval vanok (18. 03. 2012 16:02)

↑ Keeeeke:,
jednoducho, ide o funkciu takeho typu ako tu $fx) = ax^3 + bx + c; a, b, c \in R$ a tak je v tejto mnozine.Podobne na ten bod 3°.
Skutocne je to az take jednoduche!!! tak si nekomplikuj zivot.

Keeeeke · 18. 03. 2012 16:24

↑ vanok:

Ten bod 3 by vypadal takhle: $f(x).g(x)=(a_1.x^3+b_1.x+c_1).(a_2.x^3+b_2x+c_2)$
poté: $x^6.a_1.a_2+x^4.a_1.a_2+x^3.a_1.c_2+.....$

z toho plyne, že je to funkce 6.stupne, ale je to z R do R. Takže sumasumárum, odpověď je, že je to vektorový prostor. OK?

vanok · 18. 03. 2012 18:40

↑ Keeeeke:,
Nie, to je vlasnost, co neplati ale to nikdo ani od nechce.
Vyssie som pisal
3° ze je stabilna na sucin realnym skalarom
to znamena ze veznes nejaku funkciu z tvojej mnoziny $f(x) = ax^3 + bx + c$ a nejaky skalar, cize konstantu, oznacme ju $\alpha$
a vypocitaj
$\alpha f(x)$ ,
co konstatujes?

Keeeeke · 18. 03. 2012 18:45

↑ vanok:
Že je to stabilní na součin tudíž je to vektorový prostor.

Keeeeke · 18. 03. 2012 19:55

↑ vanok:
Díky za trpělivost, vidim lineárku poprvé v životě a ještě nevim, jak si to představit. Pro úplnost, kdybych měl zadání stejné, akorát by rovnice byly $f(x)=ax^4+bx^2+c$ nebo $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ tak by to vyšlo stejně, je to tak?

vanok · 18. 03. 2012 20:24

↑ Keeeeke:,
Ano ta ista metoda prace.

Matematické Fórum

#1 17. 03. 2012 19:00

Vektorový prostor

#2 17. 03. 2012 19:31

Re: Vektorový prostor

#3 17. 03. 2012 21:26

Re: Vektorový prostor

#4 17. 03. 2012 21:36

Re: Vektorový prostor

#5 18. 03. 2012 15:46

Re: Vektorový prostor

#6 18. 03. 2012 16:02 — Editoval vanok (18. 03. 2012 16:02)

Re: Vektorový prostor

#7 18. 03. 2012 16:24

Re: Vektorový prostor

#8 18. 03. 2012 18:40

Re: Vektorový prostor

#9 18. 03. 2012 18:45

Re: Vektorový prostor

#10 18. 03. 2012 19:55

Re: Vektorový prostor

#11 18. 03. 2012 20:24

Re: Vektorový prostor

Zápatí