Matematické Fórum

Brytass · 18. 03. 2012 15:04

Dobrý den, potřeboval bych pomoct s touto úlohou. Předem moc děkuji.

Úloha: Aritmetický průměr sedmi přirozených čísel je 56. Tato čísla jsou buď sudá anebo všechna lichá. Jaké největší číslo mezi nimi může být?

Katsushiro

Pointa je v tom, že si vypíšu 6 nejnižších hodnot, které můžu mít a ta 7.má bude tímpádem nejvyšší možná...

Pro sudá: $\frac{2+4+6+8+10+12+x}{7}=56$ ... dopočítáš rovnici a máš $x=350$

Pro lichá to vypadá problematicky, na to ještě mrknu :-D

elypsa · 18. 03. 2012 15:45 — Editoval elypsa (18. 03. 2012 15:50)

Ahoj, snad jsem to dobře pochopil a bude to správně..

Aritmetický průměr 7 čísel jsem si napsal jako

$\frac{x}{7}$
kdy x bude součet těch 7 čísel

No a ze zadání víme, že
$\frac{x}{7}=56$
potom tedy x=392

a teď to zkusíme pro sudá

392 nám musí dát součet 7 sudých čísel a mi chceme zjistit největší možnost toho jednoho členu. Proto logicky ostatní členy musí být minimální. Nejmenší sudé číslo je 2.

Když si to napíšem :

392 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +2 - jsme na 6 členech a 7 chceme maximální takže jednoduše zjistíš, že 392-12 = 380

Pro liché:

Tady to bude trochu těžší. Víme, že nejmenší liché číslo je 1, ovšem pokud tam dáme šestkrát 1:
tak to bude 392 = 1 + 1 + 1 + 1 +1 +1 + y
a y by se pak muselo rovnat 386 což už ale není liché číslo.

Proto to bude vypadat takto

392 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +3 +y
tím pádem y = 383
a to je již liché

Teď ale otázka zda se ta čísla můžou opakovat.. Pokud ne, pak by bylo správné řešení jak psal ↑ Katsushiro:

Jinak ↑ Katsushiro: pro lichá čísla ti vyšlo číslo sudé, což je v rozporu se zadání.

Katsushiro

↑ elypsa:
Sory, to jsem už vůbec nekontroloval :-D Jinak, u tvého řešení mi pořád nevychází ten lichý výsledek:

392=5+3+y
392=8+y
392-8=y
y=384

Jak na to tak koukám, myslím, že prostě musí být jen ta všechna sudá, protože, pokud mám sudé číslo - 6*liché (sudý počet lichých mi dá dohromady zase sudé), tak se to rovná opět sudé...

Pokud jsem něco opět přehlédl, omlouvám se :-D

elypsa · 18. 03. 2012 17:46 — Editoval elypsa (18. 03. 2012 17:47)

Jo díky za opravu! A máš pravdu, pro ta lichá čísla mně taky nenapadá jak to řešit. 6 lichých dá číslo sudé

peter_4

To ani řešit nejde, pokud by tam byl lichý počet lichých čísel, tak by jejich součet byl liché číslo.

Pokud je daný průměr, tak součet je 7*průměr, ktomu, aby vyšlo z násobení liché číslo, tak musí být obě čísla lichá, čili liché_číslo*liché_číslo.

Průměr by tedy musel být liché číslo, což není.

Brytass · 18. 03. 2012 18:09

Děkuji moc všem :-)

Brytass · 19. 03. 2012 20:03

↑ Katsushiro:
A jak to mám vypočítat? :D Omlouvám se, ale nevím jak na to. Děkuji

Honzc · 20. 03. 2012 06:08 — Editoval Honzc (20. 03. 2012 06:10)

↑ Brytass:
1. Lichá čísla to být nemohou, protože $7\cdot 56=392$ a součet lichého počtu lichých čísel je číslo liché, a číslo 392 je číslo sudé. To platí obecně.
Můžeš si to vyzkoušet třeba 1+3+5=9
2. Všechna čísla tedy budou sudá.
Protože máš najít největší možné číslo, pak potřebuješ, aby součet těch 6-ti ostatních čísel byl co nejmenší.
Nejmenší sudé číslo je číslo 2. Nejmenší součet 6-ti nejmenších sudých čísel (šesti dvojek) je $6\cdot 2=12$
Dostaneš tedy rovnici:
$\frac{12+x}{7}=56$
a tu vyřešíš
$12+x=7\cdot 56=392$
$x=392-12$
$x=380$ (jak už ti psal ↑ elypsa:)