Matematické Fórum

aralk09 · 23. 03. 2012 13:07 — Editoval jelena (23. 03. 2012 13:36)

Zdarvím, mám jen otázku, ohledně počítání integrálu..když mám integrál typu $\int_{}^{}\frac{x+1}{6x^{2}+x-2}dx$ z toho poznáme, že D>0, tak musíme to v těchto případech vždy rozkládat na PZ? nebo to můžu rozložit na integrály $k\int_{}^{}\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$ + integrál, který povede na arctg? Díky za odpověď..

aralk09 · 23. 03. 2012 13:09

↑ aralk09:
To co nejde rozbrazit je integrál (f(x)´/f(x)) dx, který pak vede na přirozenej logaritmus..

Honzc · 23. 03. 2012 13:26

↑ aralk09:
To bys si moc nepomohl.
$6x^{2}+x-2=6\left(x+\frac{2}{3}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)$
6 vytkneš před integrál pak rozklad na parciální zlomky.

aralk09 · 23. 03. 2012 13:39

Jo to vím, ale ptala jsem se na to jestli si to můžu rozložit na $\frac{1}{12}\int_{}^{}\frac{12x+1}{6x^{2}+x-2}dx+\frac{11}{12}\int_{}^{}\frac{dx}{6x^{2}+x-2}dx$ což se rovná $\frac{1}{12} ln|6x^{2}+x-2|-\frac{11}{12}arctg(\frac{12}{7}x+\frac{1}{7}) +C$ s tím že jsem si ten druhej integrál doplnila na čtverec, vytkla -1 a pomocí substituce se dostala až k arctg, jde to tak? nebo jak už jsem psala musím rozkládat na PZ?

jelena · 23. 03. 2012 13:43

↑ aralk09:

Zdravím,

určitě můžeš (podrobně úpravy jsem nekontrolovala - je třeba? Ale popis je v pořádku).

Zápis v 1. příspěvku jsem rozbrazila.

aralk09 · 23. 03. 2012 13:52

Počítala jsem se to s wolframem, takže by tam neměly být chyby...takže to můžu počítat tak i tak? ikdyž asi tím rozkladem na Pz to bude lepší, je to lehč a míň počítání :)

Honzc · 23. 03. 2012 14:07

↑ aralk09:
Tak to nejde, protože ten druhý integrál nevede na arctg.
Neboť $6x^{2}+x-2=6\left(\left(x+\frac{1}{12}\right)^{2}-\frac{49}{144}\right)$
zase vede na ln

jelena · 23. 03. 2012 14:11

↑ aralk09:

přesně - musíš překontrolovat, zda jsi jmenovatel upravila na tvar (t^2+a^2) viz vzorec 9.

Proto jsem se ptala na úpravy.

jelena · 23. 03. 2012 14:12

↑ Honzc:

Zdravím, smím nechat ještě svoji poznámku? Děkuji.

Honzc · 23. 03. 2012 14:26 — Editoval Honzc (23. 03. 2012 14:27)

↑ aralk09:
Ještě jenom malé vysvětlení.
Označme $X=ax^{2}+bx+c,\Delta =4ac-b^{2}(a\neq0,\Delta \neq0)$
Pak
$\int_{}^{}\frac{dx}{X}=\frac{2}{\sqrt{\Delta} }arctg{\frac{2ax+b}{\sqrt{\Delta }}}(\Delta >0)$
$\int_{}^{}\frac{dx}{X}=\frac{1}{\sqrt{-\Delta} }\ln \left|\frac{2ax+b-\sqrt{-\Delta }}{2ax+b+\sqrt{-\Delta }}\right|(\Delta <0)$

aralk09 · 23. 03. 2012 14:46

Jo, super už to chápu, děkuji, takže budu volit hned parciální zlomky a mám po starostech...jak jsme to počítala, tak jsem se dívala na upravy ve wolframu http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 … 2%2Bx-2%29 tak jak oni tam dostali ten arctg? když jsem to počítala ve směs jak oni a mám to špatně?

jelena · 24. 03. 2012 00:04

↑ aralk09:

Snad ještě aktuální, dřív to nevyšlo. V odkazu není arctg, ale arctgh.

Osobně bych Wolfram používala jen na kontrolu výsledku, podrobný postup - je strojové zpracování, které prakticky neprovedeš (a doporučuje MAW - je více lidsky :-). Ještě se omlouvám, že jsem přečetla jen slovní popis bez podrobné kontroly zadání a děkuji kolegovi ↑ Honzc: za podrobnou kontrolu.

budu volit hned parciální zlomky a mám po starostech

:-) budeš a máš. Ovšem pokud v rozkladu parciálních zlomku budeš mít "nerozložitelný kvadratický člen" v jmenovateli (nemá kořeny v R), potom to na arctg povede.

Matematické Fórum

#1 23. 03. 2012 13:07 — Editoval jelena (23. 03. 2012 13:36)

integrál

#2 23. 03. 2012 13:09

Re: integrál

#3 23. 03. 2012 13:26

Re: integrál

#4 23. 03. 2012 13:39

Re: integrál

#5 23. 03. 2012 13:43

Re: integrál

#6 23. 03. 2012 13:52

Re: integrál

#7 23. 03. 2012 14:07

Re: integrál

#8 23. 03. 2012 14:11

Re: integrál

#9 23. 03. 2012 14:12

Re: integrál

#10 23. 03. 2012 14:26 — Editoval Honzc (23. 03. 2012 14:27)

Re: integrál

#11 23. 03. 2012 14:46

Re: integrál

#12 24. 03. 2012 00:04

Re: integrál

Zápatí