Matematické Fórum

slizi · 25. 03. 2012 10:19

Prosim neví někdo jak bych měl vypočítat tento příklad: Žebřík o délce 3,0 m a hmotnosti 12kg je opřen jedním koncem o podlahu, druhým o svislou stěnu, s níž svírá úhel 20 stupňů. Výška těžiště nad podlahou je 1,2 m(těžiště není uprostřed žebříku). Jak velkou vodorovnou silou, působící v polovině žebříku, odkloníme žebřík horním koncem od stěny? tření na podlaze je dostatečně velké, aby žebřík neklouzal. Ja nemůžu přijít na postup vypočtu. Děkuju všem za pomoc :)

Nautileuz · 25. 03. 2012 16:48

Zdravím,

$F=\frac{2\cdot m\cdot g\cdot h\cdot tg(\alpha )}{l\cdot cos(\alpha )}=\frac{2\cdot 12\cdot 9,81\cdot 1,2\cdot tg(20)}{3\cdot cos(20)}=36,47\text{ }N$

halogan · 25. 03. 2012 16:57

Hledej "žebřík" nebo jiné neběžné slovo, taková úloha se tu řešila už několikrát.

slizi · 25. 03. 2012 17:03

Děkuju moc ;) :).↑ Nautileus:

medvidek · 26. 03. 2012 04:15

Ahoj Slizi a Nautileus

Reaguji proto, že výsledek od kolegy Nautileus je trochu jiný, než jsem uvedl já v téměř stejné úloze před dvěma roky.

Výsledek od Nautileus je správný pro daný konkrétní úhel náklonu daného žebříku. Tudíž je vše OK. Pokud bychom ale chtěli zjistit velikost síly $F$ i pro jiné úhly $\alpha$ u tohoto žebříku, výše uvedený vzorec by neplatil. Správně by musel být zapsán např. takto:
$F(\alpha)=\frac{2\cdot m\cdot g\cdot h\cdot \mathrm{tg}(\alpha )}{l\cdot \cos(\alpha_h )}$
V tomto vzorci $\alpha_h$ označuje konstantu - jeden konkrétní úhel, při kterém známe výšku $h$ těžiště žebříku nad podlahou, zatímco $\alpha$ představuje proměnnou, tj. libovolný jiný sklon žebříku než $\alpha_h$ .

Raději sem umístím celé řešení, aby bylo jasné, jak se k tomu výsledku dojde.
Základní myšlenkou je rovnost dvou momentů sil, které působí proti sobě.

Jeden z momentů tlačí žebřík ke zdi:
$M_1=G \cdot l_T \cdot \sin (\alpha)$ ,
kde $G=mg$ je gravitační síla a $l_T=\frac{h}{\cos (\alpha_h)}$ je vzdálenost těžiště od dolního konce žebříku.

Druhý moment táhne žebřík od zdi:
$M_2=F \cdot \frac l2 \cdot \cos (\alpha)$ .

Z toho vyjádříme sílu $F$
$F=\frac{2M_2}{l \cos (\alpha)}=\frac{2M_1}{l \cos (\alpha)}=\frac{2 G l_T \sin (\alpha)}{l \cos (\alpha)}=\frac{2 G l_T}{l} \ \mathrm{tg} (\alpha)=\frac{2 m g h}{l \cos(\alpha_h)} \ \mathrm{tg}(\alpha)$
a máme vzorec, který je uveden výše.

------------------------------------------------------------------------------------------
Teď ještě poznámka k již zmiňované téměř stejné úloze z minulosti.
Tam bylo $\alpha_h=30^\circ$ ,
pak je $\cos(\alpha_h)=\frac{\sqrt 3}{2}$ ,
proto bylo možné výsledek upravit na $F=\frac{4}{\sqrt 3}\ \frac{mgh}{l}\ \mathrm{tg}(\alpha)$ .