Matematické Fórum

Alexandra44441 · 26. 03. 2012 20:57 — Editoval jelena (26. 03. 2012 22:02)

Poprosila bych o vysvětlení postupu při výpočtu tohoto integrálu:
$\int y\cdot y^{\prime}\d x=$

Vím, že výsledek má být:

$\frac{1}{2}\cdot y^2+\frac{1}{2}\cdot C_1$
ale nevím, proč. Můžete mi, někdo, prosím, objasnit tento postup?

Alexandra44441 · 26. 03. 2012 21:03

↑ Alexandra44441: Tak to budu muset zadat slovně, nejde mi Tex.

Takže ten integrál je: y.y´dx

a to řešení je: (1/2)*y^2+(1/2)*C_1

Jenom bych potřebovala nějak stručně vysvětlit, jakou formou se to integruje. děkuji předem.

jelena · 26. 03. 2012 22:04

Zdravím,

editovala jsem Tvůj příspěvek - je to tak, jak jsi myslela? Zatím mi moc smyslu nedává. Je to originál zadání nebo mezivýpočet? Děkuji.

Alivendes · 26. 03. 2012 22:12

↑ jelena:↑ Alexandra44441:

Znám to jako vzorec, že:

$\int f(x).f'(x)dx=\frac{f^2(x)}{2}+C$

Nevím, proč ty píšeš $\frac{1}{2}C_1$

Alexandra44441 · 26. 03. 2012 22:16 — Editoval Kondr (27. 03. 2012 17:55)

↑ jelena:Jojo, je to přesně tak. No, jedná se o mezivýpočet. Původně to byla diferenciální rovnice druhého řádu, a to konkrétně:

$y''=y$

a dle postupu, který mám k dispozici je dalším krokem vynásobení této rovnice $y'$ , kde dostáváme:

{(1/2)*y'^2}'=y*y'

a po integraci pak dostáváme:

(1/2)*y'^2 = integral y*y'

no a pak tam na pravé straně je výsledek ten, co jsem uvedla, ale nevím proč tomu tak je.

Alexandra44441 · 26. 03. 2012 22:18

↑ Alexandra44441:Tak koukám, že prostě Tex dneska spolupracovat nebude, nevadí. Zadání té diferenciální rovnice tedy je:

y´´ = y

Ono jde ji vypočítat i jako lineární diferenciální rovnici, to mi vyšlo a je to v pořádku, ale tento způsob mě také zajímá, jenom nevím, jak se dopracovali k tomuto výsledku. Nebo spíše mezivýsledku, to ostatní už mi je jasné také.

Alexandra44441 · 26. 03. 2012 22:19

↑ Alivendes:No protože to tak mám uvedeno v jedné diplomové práci. A proto mi to také není jasné.

kaja.marik · 27. 03. 2012 10:30

Alexandra44441 napsal(a):
↑ Alexandra44441:Tak koukám, že prostě Tex dneska spolupracovat nebude.

Ona se totiz derivace v TeXu pise ' (na moji anglicke klvesnici pod uvozovkama, v rade kde je jkl; hned za strednikem).

kaja.marik · 27. 03. 2012 10:32

↑ Alexandra44441:
substituce $y(x)=t$ , $y'(x)dx=dt$ to převede na $\int t\;\mathrm dt=\frac 12 t^2+\frac 12 C_1$

Alexandra44441 · 27. 03. 2012 14:36

↑ kaja.marik:Jenom pořád mi není jasné, odkud je tam tá 1/2C_1.

kaja.marik

↑ Alexandra44441:
A co presne nevite? Nevite proc tam je nejaka konstanta, nebo proc je to prave 1/2 C_1?

Muze tam byt jakoliv konstanta, klidne C nebo treba tan(C_2), kde C_2 probiha interval od -pi/2 do pi/2

Proste autor vypoctu tam z nejakeho duvodu vlozil konstantu zapsanou ponekud obskurnim zpusobem a my se muzeme jenom dohadovat proc to udelal. Mozna se to vyplati v dalsim vypoctu, mozna jenom podviny smysl pro humor ...

V tomto pripade to bude asi proto, ze bude potrebovat vyraz nasobit dvema. Tak si tam nachystal konstantu, ktera se s tou dvojkou zkrati.

A proc tam je vubec nejaka konstanta? Protoze primitivni funkce neni dana jednoznacne.

Alexandra44441 · 27. 03. 2012 19:42

↑ kaja.marik:Proč tam je tá konstanta $C_1$ mi je jasné, ale nepochopila jsem to $\frac12$ . Ale tak možná to je jenom opravdu trik autora, přesto by mě zajímalo, k čemu, protože nikde dále jsem to moc nevyužila.

Alexandra44441 · 27. 03. 2012 19:46 — Editoval jelena (27. 03. 2012 19:50)

↑ kaja.marik:Dobře, takže z toho plyne, že pokud chci integrovat záležitost typu:

$y\cdot y'$ , čili $\int_{}^{}y.y´dx$ , tak jeho výsledek je tedy:

$\frac12y^2+C$ , je to tak?

jelena · 27. 03. 2012 19:52

↑ Alexandra44441:

Zdravím, používej, prosím, doporučení ohledně zápisu od ↑ kaja.marik: (děkuji). První zápis jsem opravila.

kaja.marik

No pokud je y funkce promenne x a pokud carka znaci derivaci podle x tak ano, potom plati (pro jistotu vypisuji i argument funkce y)
$\int_{}^{}y(x)y'(x)dx=\frac 12 y^2(x)+C$

Alexandra44441 · 28. 03. 2012 07:00

↑ kaja.marik:Dobře, tak tedy moc děkuji.

Matematické Fórum

#1 26. 03. 2012 20:57 — Editoval jelena (26. 03. 2012 22:02)

Integrál (y.y´)

#2 26. 03. 2012 21:03

Re: Integrál (y.y´)

#3 26. 03. 2012 22:04

Re: Integrál (y.y´)

#4 26. 03. 2012 22:12

Re: Integrál (y.y´)

#5 26. 03. 2012 22:16 — Editoval Kondr (27. 03. 2012 17:55)

Re: Integrál (y.y´)

#6 26. 03. 2012 22:18

Re: Integrál (y.y´)

#7 26. 03. 2012 22:19

Re: Integrál (y.y´)

#8 27. 03. 2012 10:30

Re: Integrál (y.y´)

Alexandra44441 napsal(a):

#9 27. 03. 2012 10:32

Re: Integrál (y.y´)

#10 27. 03. 2012 14:36

Re: Integrál (y.y´)

#11 27. 03. 2012 16:44 — Editoval kaja.marik (27. 03. 2012 16:47)

Re: Integrál (y.y´)

#12 27. 03. 2012 19:42

Re: Integrál (y.y´)

#13 27. 03. 2012 19:46 — Editoval jelena (27. 03. 2012 19:50)

Re: Integrál (y.y´)

#14 27. 03. 2012 19:52

Re: Integrál (y.y´)

#15 27. 03. 2012 20:30 — Editoval kaja.marik (27. 03. 2012 20:30)

Re: Integrál (y.y´)

#16 28. 03. 2012 07:00

Re: Integrál (y.y´)

Zápatí