Matematické Fórum

Jirda · 30. 03. 2012 21:56

Zdravím,

chtěl bych se zeptat, jak přistupovat k situacím, kdy mám ze zadané množiny permutací najít podgrupu nějaké Sn.

Odbočka:
Když si třeba vemu grupu zbytkových tříd (Z120,+) a mám třeba množinu ([6], [10]) (dolní index 120 vynechávám),
tak jelikož tato čísla nejsou nesoudělná, tak generátorem podgrupy v Z60 bude prvek [2].

Ale existuje něco takového i u permutací? Resp. dá se tam podchytit podobná vlastnost, jako je nesoudělnost v Zn?

Napadlo mě si permutace, které bych dostal v množině, přepsat na součin nezávislých cyklů a pak každý takový cyklus bude jedním z generátorů podgrupy, ale nejsem si jist korektností.

Pak mě napadá, jaký by byl počet prvků takové podgrupy, kdyby to platilo. Byl by to součet řádů jednotlivých generátorů s tím, že bych musel odečíst hodnotu k-1, kde k je počet generátorů, abych se zbavil duplicitních identit, protože každý generátor vygeneruje i identitu?

Díky moc za odpověď.

jardofpr

ahoj ↑ Jirda:

mám obavy že to fungovať nebude, povedzme že dostaneš množinu $M=\{\phi_{1}:=(123)(4)\dots(n)\,,\,\phi_{2}:=(12)(3)(4)\dots (n)\}$

podľa tvojho postupu cyklus $(123)$ vygeneruje trojprvkovú podgrupu $S_{n}$ pre ľubovoľné $n \in \mathbb{N}$ , nejakú $(G_{1}\,,\,\circ )$ kde $G_{1}=\{\phi_{1}\,,\,\phi_{1}\circ \phi_{1}\,,\,\mathrm{id}\}$
$(12)$ zasa $(G_{2},\circ )$ kde $G_{2}=\{\phi_{2}\,,\,\mathrm{id}\}$

ale $H=(G_{1}\cup G_{2}\backslash\{id\}, \circ)$ nie je grupa

vanok · 01. 04. 2012 13:14

Ahoj ↑ Jirda:,

Len mala poznamka, na doplnenie kolegovej ↑ jardofpr:

Co sa tyka aritmetiky v okruhu $Z_n$ ( za urcitych podmienok) sa da generalizovat na ine situacie ... ale tie nie su vseobecne splnene v $S_n$

Matematické Fórum

#1 30. 03. 2012 21:56

Podgrupa grupy permutací generována množinou

#2 31. 03. 2012 07:31 — Editoval jardofpr (31. 03. 2012 07:36)

Re: Podgrupa grupy permutací generována množinou

#3 01. 04. 2012 13:14

Re: Podgrupa grupy permutací generována množinou

Zápatí