Matematické Fórum

kotry · 30. 03. 2012 15:20 — Editoval kotry (30. 03. 2012 16:54)

Zdravím, potřeboval bych poradit s těmito příklady. Moc nerozumím tomu zadáni

Př. 1

-nevím co přesně myslí tou druhou řádkou zadání, resp. g(x)= [f(x)]^6 ??????

moje řešení:

f´ (x)= 0 + 2 - 3.(x-1).2= -6x+8 f´ (1)=2
f´´(x)= -6 f´´(1)=-6

T2(x)= 1 + 2.(x-1) + (-6)/(2.1).(x-1)^2 = 1 + 2.(x-1)-3(x-1)^2

Př.2

- tady vůbec nevím jaký stupeň T.p. mám počítat
- f(0,98) mám dosadit do výsledku a spočítat přesnou hodnotu?? ( =1,98)

moje řešení:

f´ (x)= -(2x-1)e^{2-2x}
f´ (1)=-1
f´´(x)= 4(x-1)e^{2-2x}
f´´ (1)= 0

T2(x)= 2-(x-1)

Rumburak

Ahoj.

K první úloze.
O funkci f víme, že f(1) = 1, f´(1)=2 , f´´(x)= -6 , což je vyčteno z daného T.p. fce f.
K funkci g, o níž víme, že g(x) = [f(x)]^6 , máme sestrojit T.p. (zřejmě stupně 2) , k čemuž budeme vedle g(1) potřebovat čísla g´(1) , g´´(1)
a k jejich výpočtu zase větu o derivaci složené funkce a rovněž větu o derivaci součinu funkcí.

Druhá úloha není na T.p. , ale na diferenciál dy = f'(1) dx , kde dx interpretujeme jako přírůstek proměnné x a dy jako odpovídající přírůstek
proměnné y = f(x).

kotry · 30. 03. 2012 17:02

↑ Rumburak:

takže ten první příklad hledám T.p. [(1+2(x-1)-3(x-1)^2] ^6 ???

a ten druhý jen zderivuji a dosadím 0,98 ?

Rumburak · 30. 03. 2012 17:08

↑ kotry:

NE. Hledej T. p fce g, tedy g(1) + g'(1)(x-1) + [g''(1)/2](x-1)^2 .

kotry · 01. 04. 2012 11:23

↑ Rumburak:

Nemohl by jste mi to prosím rozepsat?

jarrro · 01. 04. 2012 11:47

↑ kotry:vieš,že $g{\left(1\right)}=f{\left(1\right)}^6\nl g^{\prime}{\left(1\right)}=6f{\left(1\right)}^{5}f^{\prime}{\left(1\right)}\nl g^{\prime\prime}{\left(1\right)}=6\cdot 5f{\left(1\right)}^4f^{\prime}{\left(1\right)}^2+6f{\left(1\right)}^5f^{\prime\prime}{\left(1\right)}$
a pre koeficienty taylorovho polynómu platí $a_n=\frac{f^{\left(n\right)}{\left(a\right)}}{n!}$ exponent v zátvorke je rád derivácie pričom nultá derivácia je samotná funkcia

vanok · 01. 04. 2012 11:56 — Editoval vanok (02. 04. 2012 10:47)

Ahoj ↑ kotry:,
Tiez pozdravujem kolegu ↑ Rumburak:
Cvicenie 1. ( pisem cvicenie, lebo priklad je dany vzdy vyrieseny)
Mne sa zda, ze akoze nepozname ani f a ani g...

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

tak je najjednoduchsie pracovat na uz danom rozvoji $T_2(f)$
Aritmetika vypoctov na Taylorovych rozvodoch nam umoznuje v polynome $$T_2(f) $^6$ uvazovat len cleny ktorych typ je konstanta; $a \cdot (x-1)$ a $b \cdot (x-1)^2$ .

kontrola

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

kotry · 01. 04. 2012 22:13

2. příklad

$-(-2x-1)e^{2-2x}$

$-(-2. 0,98-1)e^{2-2. 0,98}=2,96.e^{0,04}= 3,089$

... to se mi nějak nezdá

kotry · 01. 04. 2012 22:15

↑ vanok:

prosím vás, mohl by jste mi rozepsat, jak jste se dostal k tomu výsledku? Zkoušel jsem to počítat, ale k takovému výsledku jsem se nedostal...

Rumburak

↑ kotry:
Můj mávrh rozpracoval kolega ↑ jarrro:, jemuž tímto děkuji.
V kontextu s funkcí $g$ platí pro koeficienty T.r. vztahy $a_n=\frac{g^{\left(n\right)}{\left(a\right)}}{n!}$ , takže T.p. stupně 2 fce $g$ se středem v 1 bude

$T_g(x) = g(1) + g'(1)(x-1) + \frac {1}{2} g'(1)(x-1)^2 = ...$ ,

a do toho dosaď za $g(1), g'(1), g''(1)$ podle vzorců od ↑ jarrro: a známých hodnot $f(1) = 1, f'(1)=2 , f''(x)= -6$ .

Měl by vyjít tentýž výsledek, ke kterému dospěl jinou cestou kolega ↑ vanok: (rovněž zdravím !).

PS. Tu cestu "přes definici" jsem volil s úmyslem, aby sis látku lépe procvičil.

vanok · 02. 04. 2012 11:06 — Editoval vanok (02. 04. 2012 11:29)

↑ kotry:,
Vypocet ( v metode co som ti ukazal)je celkom jednoduchy
$$1+(2(x-1)-3(x-1)^2 $^6 = 1+{6 \choose 1}(2(x-1)-3(x-1)^2) +{6 \choose 2}(2(x-1)-3(x-1)^2)^2+...=$
$1 +6 (2(x-1)-3(x-1)^2)+ 15\cdot 4(x-2)^2+...=$ $1 +12(x-1)-18(x-1)^2+60 (x-1)^2+...=$ $1 +12(x-1)+42(x-1)^2+....$
co ti okamzite da hladany vysledok ( iste si vsimol, ze vo vypocte rozvoju, netreba ho cely pocitat a staci sa limitovat na cleny, ktore nas zaujimaju).
Tiez ti doporucujem, pozorne prestududovat aj metodu kolegu ↑ Rumburak:,
a takto budes mat dobru "kulturu" ako riesit problemy z Taylor-ovymi rozvojmy.

kotry · 02. 04. 2012 13:05

↑ Rumburak:↑ vanok:

děkuji, už to chápu :-)
(chtělo si to zopakovat kombinační čísla a faktorialy...)

Matematické Fórum

#1 30. 03. 2012 15:20 — Editoval kotry (30. 03. 2012 16:54)

Taylorův polynom

#2 30. 03. 2012 15:46 — Editoval Rumburak (30. 03. 2012 16:14)

Re: Taylorův polynom

#3 30. 03. 2012 17:02

Re: Taylorův polynom

#4 30. 03. 2012 17:08

Re: Taylorův polynom

#5 01. 04. 2012 11:23

Re: Taylorův polynom

#6 01. 04. 2012 11:47

Re: Taylorův polynom

#7 01. 04. 2012 11:56 — Editoval vanok (02. 04. 2012 10:47)

Re: Taylorův polynom

#8 01. 04. 2012 22:13

Re: Taylorův polynom

#9 01. 04. 2012 22:15

Re: Taylorův polynom

#10 02. 04. 2012 10:09 — Editoval Rumburak (02. 04. 2012 10:12)

Re: Taylorův polynom

#11 02. 04. 2012 11:06 — Editoval vanok (02. 04. 2012 11:29)

Re: Taylorův polynom

#12 02. 04. 2012 13:05

Re: Taylorův polynom

Zápatí