Matematické Fórum

Majkys · 19. 10. 2008 16:44 — Editoval Majkys (19. 10. 2008 16:49)

Prosím o pomoc s řešením této rovnice

$\frac{2+logx}{3-logx}=5$

a prosím této

$log\frac{1}{x} + log\sqrt[3]{x}=3log\sqrt{x^3 }+log2x$

díky

jelena · 19. 10. 2008 17:18

jelikož v zadání se vyskytuje log, jeho argument x musí být kladný (řešíme tedy na intervalu (0, +oo)

$\frac{2+ \log x}{3-\log x}=5$

rovnici převedu na anulovaný tvar:

$\frac{2+\log x-5(3-\log x)}{3-\log x}=0$

$\frac{-13+6\log x}{3-\log x}=0$

$-13+6\log x=0$ a zároven $3-\log x\neq0$

$\log x=\frac{13}6$ a zároven $\log x\neq3$

$\log x=\log 10^{\frac{13}6}$ a zároven $\log x\neq\log 10^3$

$x=10^{\frac{13}6}$ tento výsledek vyhovuje podmínkam ovšem trochu nehezky výsledek.

Pokud je to zadání z Janečka ( 2.4. a), tak na právé straně je "4", což mění situaci a výsledek je hezčí: x=10

$\frac{2+ \log x}{3-\log x}=4$ - to už dle vzoru mužeš počítat sam(a). OK?

jelena · 19. 10. 2008 17:30 — Editoval jelena (19. 10. 2008 17:30)

$\log \frac{1}{x} + \log \sqrt[3]{x}=3\log \sqrt{x^3 }+\log 2x$

trochu upravim odmocniny, mocniny a používám pravidla počítání s logaritmy:

$\log {x^{-1}} + \log {x^{\frac13}=3 \log x^{\frac32} + \log 2 + \log x$

$- \log x +{\frac13}\cdot \log x =3\cdot{\frac32}\ log x + \log 2 + \log x$

Co s tim dál, už, mýslim, bude jasne...

Jiná možnost počátečních úprav:

$\log \frac{1}{x} + \log \sqrt[3]{x}=\log (\sqrt{x^3 })^3+\log 2x$

$\log (\frac{1}{x}\cdot{ \sqrt[3]{x}})=\log((\sqrt{x^3 })^3\cdot {2x})$

Pozor na definiční obory a podmínky pro každou úpravu.

OK?

Majkys · 19. 10. 2008 17:39 — Editoval Majkys (19. 10. 2008 17:48)

Ano děkuji té 1) rozumím. Zkusil jsem to vyřešit i pomocí substituce a vyšlo mi to. Ale nevím jak pokračovat s dvojkou po první verzi úpravy ( ta druhá verze se mi zdá krkolomnější). Mohla by jste mi prosím poradit? Díky moc.

Mimochodem ten první příklad není z Janečka ale ze Sbírky úloh z matematiky pro SOŠ a pro studijní obory SOU od Prometheuse.

jelena · 19. 10. 2008 18:02

↑ Majkys:

Máš, prosím, výsledek u druhého zadání? Vychází nepříliš esteticky - ale nechce se mi překontrolovavat celý postup. zadání je OK?

Děkuji :-)

jelena · 19. 10. 2008 18:07

Majkys napsal(a):
Mimochodem ten první příklad není z Janečka ale ze Sbírky úloh z matematiky pro SOŠ a pro studijní obory SOU od Prometheuse.

Ze zelene knihy? Nebo z bílé v měkkých deskách :-) obě mi zas někdo odnesl :-) A v zadání je 5 na právé straně? hmm...

K druhému příkladu doplním, ale, prosím překontrolovat, zda nedělám chybu (ten výsledek je velmi neestetický :-(:

$- \log x +{\frac13}\cdot \log x =3\cdot{\frac32}\ log x + \log 2 + \log x$

$- \log x +{\frac13}\cdot \log x -{\frac92}\ log x - \log x =\log 2$

$- \frac{37}{6} \log x =\log 2$

$\log x=-\frac{6}{37}\log 2$

$x = 2^{-\frac{6}{37}}$

Majkys · 19. 10. 2008 18:08

0,8937. Zadání je OK.

jelena · 19. 10. 2008 18:12

↑ Majkys:

Tak pak můj výpočet je OK :-) kalkulačka spočítala, že 2 na (-6/37) je skutečně takové číslo, jak uvádiš (už jsem viděla hezčí :-).

Je všechno srozumitelne?

Majkys · 19. 10. 2008 18:14

Ano je díky moc. Ještě se určirtě hodím do večera něco :-) . Jinak je to zelená kniha.

jelena · 19. 10. 2008 18:16

↑ Majkys:

Já, bohužel, už budu mít jiné povinnosti, tak to přenechávám kolegům a zdravím :-)

krocansk · 22. 10. 2008 12:20

Ahoj moc prosím o výpočítání těch to 2 přikladů děkuji
log x + \frac{3}{log x}\equiv4
log \sqrt{x+1}+ log \sqrt{x-1}\equiv2-log2 a jestli by mohla být u toho u zkoška děkuju moc

musixx · 22. 10. 2008 12:36

↑ krocansk: Protoze mame delat zkousku, tak mozna bychom ani nemuseli tak moc trvat na hledani podminek, za kterych je rovnice resitelna... Ale kdyztak si podminky dopln:

$\log x+\frac3{\log x}=4$ : zavedme substituci $y=\log x$ , coz dava $y+\frac3y=4$ , tedy $y^2-4y+3=0$ , tedy $(y-3)(y-1)=0$ , tedy bud $y=\log x=1$ , tedy $x_1=10$ , nebo $y=\log x=3$ , tedy $x_2=1000$ .

Zkouska: $\log10+\frac3{\log10}=1+\frac31=4$ , tedy plati. Dale $\log1000+\frac3{\log1000}=3+\frac33=4$ , tedy take plati.

Priklad druhy:

$\log\sqrt{x+1}+\log\sqrt{x-1}=2-\log2$ , tedy $\log\left(\sqrt{x+1}\cdot\sqrt{x-1}\right)=\log100-\log2$ , tedy $\log\sqrt{x^2-1}=\log50$ , tedy $\sqrt{x^2-1}=50$ , tedy $x=\pm\sqrt{2501}$ .

Na zkousku mohu pouzit tak leda kalkulacku, rekl bych... Pro $x=-\sqrt{2501}$ uloha neni definovana, tedy jedinym resenim je $x=\sqrt{2501}$ .