Matematické Fórum

Skrytý text:
Dosaďme x=1. Získáme součet všech koeficientů a0+a1+...+a(n). Protože všechny koeficienty jsou přirozená čísla (tj. kladná), tak jsou všechny rovny nejvýše P(1) (ve skutečnosti je to jen slabý odhad, ale i ten nám postačí). Víme tedy, že a0 <= P(1), a1 <=P(1), ..., a(n) <= P(1). Nyní dosaďme
x = P(1) + 1. Získáme hodnotu P(P(1) + 1) a tu převeďme do soustavy o základu P(1)+1. Tato hodnota bude vypadat tak, že budou jen za sebou vypsané všechny koeficienty a to v pořadí a(n), a(n-1), ..., a1, a0. Jistý si tím můžu být proto, že všechny koeficienty jsou menší než základ soustavy, tudíž nedochází k přenosu řádu. Dám sem příklad:
Polynom v černé skříňce bude P(x) = x^2 + 3x + 2. Potom a0=2, a1=3, a2=1 (ale to my nevíme). Dosazením x=1 zjistíme, že P(1)=a0+a1+a2=6. Nyní dosaďme číslo P(1)+1=7. Dostaneme P(x) = 7^2 + 3*7 + 2 = 49 + 21 + 2 = 72. Převedeme číslo 72 do soustavy o základu P(1)+1=7. Dostaneme číslo 132, takže koeficienty jsou 1, 3, 2.