Matematické Fórum

Domiinika

Dobrý den, dostala jsem k vyřešení úlohu, která zdá se pro mě být pořadným oříškem :/
Zadání zní:
Farmár má pristresek ve tvaru pravidelného ctyrbokeho jehlanu o výšce v a délce podstavy a.
Potrebuje do nej ukrýt balík slámy ve tvaru válce. Urcete polomer podstavy válce r (a jeho výšku)
tak, aby mohl být balík co největší.

Takže by to asi mělo vypadat nějak takhle:

Ale zaboha me nenapada, jak to vyjadrit :( Pomuze nekdo? Dekuji!

jelena · 09. 04. 2012 23:44

Zdravím,

ve výšce h (výška válce) zakreslí vodorovnou rovinu řezu (vznikne čtverec, do kterého je vepsána podstava válce). Potom uvažuj podobnost trojúhelníků - malého nad zakreslenou rovinou a toho, co jsi nakreslila.

Nějaká inspirace by mohla být zde nebo tam.

Takjo · 10. 04. 2012 07:53

↑ Domiinika:
Dobrý den,
s odkazem na ↑ jelena: je však nutno upřesnit, že hledaný válec se svou horní podstavou dotýká stěn jehlanu, nikoliv hran.
Trojúhelník v obrázku bude proto poněkud jiný... :)

jelena · 10. 04. 2012 08:01

↑ Takjo:

děkuji, volba trojúhelníku nemá tak podstatný vliv, jelikož podobnost je zachována (v zakreslení kolegyňky se vyskytne polovina uhlopříčky odvozená od strany čtverce a a to $\sqrt2$ se vykratí. Je tak? :-)

Zdravím.

Takjo · 10. 04. 2012 08:51

↑ jelena:
Dobrý den,
samozřejmě, že je to tak, nicméně metodicky je správnější varianta č. 2 :)

jelena · 10. 04. 2012 11:19

↑ Takjo:

:-) metodicky jsem neviděla důvod narušovat představu kolegyňky, kterou vyjádřila v nákresu.

Jinak u těchto "stále recyklovaných úloh" (jak označuje náš vážený kolega) už ani nevím, jakou kreativitu bych měla prokázat. Autorům úloh také zřejmě kreativita dochází - kdo v dnešní době strká balíky slámy pod střechy (a ještě pod takové), když jsou vyvinuty výborné ovinovací fólie.

Cheop · 10. 04. 2012 11:56

↑ jelena:
Zdravím
Co se týče balíků s tebou souhlasím.
Zrovna před půl hodinou jsem jel okolo takových balíků, které ležely na poli.
A to celou zimu.

jelena · 10. 04. 2012 16:24

↑ Cheop:

děkuji, také jsem pozorovala a dokonce bych pohovořila podrobněji o vlastnostech ovinovacích folií :-) Je pěkné mít odborný názor speciality nejen na balíky slámy, ale hlavně na pyramidy ↑ Cheop:.

Uvažovala jsem nad motivační modifikaci úlohy o vypsání válce do jehlanu a navrhovala bych optimalizovaně zabudovat Colosseum do pyramidy Louvre (nic z toho jsem neviděla v reálu a ani neuvidím).

Konec OT. Pokud autorka dotazu prokáže samostatnou aktivitu a na mne spadne dohled nad postupem úlohy, tak vám neděkuji, neb domu se dostanu velmi pozdě (ale asi budu muset za OT v tématu dohlížet) :-)

Domiinika

Dobry den, dekuji za odpovedi a za zevrubnou analyzu ovinovacich folii :-) (i to se v zivote bude hodit).
Co se tyce prikladu - kdy si tedy predstavim ten valec - shodny s polovinou strany jehlanu by smysl nemel, protoze valec by nemel zadnoou vysku. Beru tedy, ze u valce platí

Kdyz bych si to tedy mela nakreslit

a z toho:

Jdu na to dobře? Teď by se daly spočítat přepony, popřípadě přepona celého trojúhelníku?

Jen mi to asi není jasné v tom 3D prostoru - jak docílit toho, aby byl balík co největší?

Děkuji za odpověď.

Cheop · 10. 04. 2012 21:28 — Editoval Cheop (11. 04. 2012 10:18)

↑ Domiinika:
Z tvého obrázku a z podobnosti trojúhelníků musí platit:
$\frac{a-2r}{2h_v}=\frac{a}{2h_j}\\h_v=\frac{h_j(a-2r)}{a}$
Musíme určit hodnoty $r$ a $h_v$ tak, aby objem válce byl co největší tedy:
$V_v=\pi\,r^2\,h_v\,\rightarrow\,\max$
$V_v=\frac{\pi\,r^2\,h_j(a-2r)}{a}\,\rightarrow\,max$
Tento výraz derivujeme podle r a derivaci položíme rovnu 0 tj dostaneme:
$\left(\frac{\pi\,h_j}{a}\left(ar^2-2r^3\right)\right)^,=0$
$2ra-6r^2=0\\a=3r\\r=\frac a3$
Dopočteme $h_v$
$h_v=\frac{h_j(a-2r)}{a}\\h_v=\frac{h_j(a-\frac{2a}{3})}{a}\\h_v=\frac{h_j}{3}$

Největší objem tedy balík bude mít když:
$r=\frac a3\\h_v=\frac{h_j}{3}$