Matematické Fórum

Sam_Hawkins · 11. 04. 2012 21:13

chtěl bych se zeptat, jak spočítat limitu:
$\lim_{x\to\infty }(1+\frac{1}{x^{2}})^{x}$

a mělo by to jít spočítat jinak než převodem na exponenciální funkci, došel jsem až sem:

$\lim_{y\to\infty }(1+\frac{1}{y})^{\sqrt{y}}$

ale dál nevím co s tím

jelena · 11. 04. 2012 21:50

Zdravím,

upravila bych na $\lim_{x\to\infty }$\(1+\frac{1}{x^{2}}$^{x\cdot x}\)^{\frac{1}{x}}$

Pomůže? Děkuji.

Sam_Hawkins · 12. 04. 2012 08:24

↑ jelena:

aaach děkuji :)

tedy

$\lim_{x\to\infty }(\lim_{y\to\infty }(1+\frac{1}{y})^{y})^{\frac{1}{x}}$

což je

$\mathrm{e}^{0} = 1$

je tak?:)

jelena · 12. 04. 2012 09:41

↑ Sam_Hawkins:

ano, výsledek je dobře, ale nekombinovala bych do toho 2 proměnné (formálně se mi ten zápis nezdá, ale já té formální stránce příliš nerozumím, proto poprosím kolegy o komentář).

Děkuji.

peter_44

Nevím jestli se ti bude moje řešení líbit Same Hawkinsy, ale limita se dá vyřešit s pomocí zamyšlení se nad binomickou větou

(a+b)^n a toho, jak vznikají příslušné koeficienty, čili například

(a+b)^4 = 1*a*a*a*a + 4*a*b^3+ 6*a^2*b^2 + 4a^3*b + 1*b*b*b*b
(koeficienty jsou 1*, 4*, 6*, 4*, 1*, tedy koeficienty jsou ty čísla co násobí jednotlivé členy binomické věty)

Prakticky jde oto, že násobek vypadá nějak takto
(a+b)*(a+b)*(a+b)*(a+b).... = ...

Koeficienty vznikají tak, kolik možných uspořádání daných písmenek je možné, například pro aaab=>aaab, aaba, abaa, baaa => 4 transpozice, koeficient bude 4*a*b^3.

Není přílíš důležité nějak dál rozvádět tento fakt ani jak vzniká, ikdyž je to poměrně zajimavá věc :).

pro (a+b)^4 => aaaa tedy bude mít koeficient 1, aaab bude mít koeficient 4/1, další členy pak 4*3/2*1, 4*3*2/3*2*1 ...

respektive 1, n/1, n*(n-1)/2*1, n*(n-1)(n-2)/3*2*1

Ty máš
$\lim_{x\to\infty }(1+\frac{1}{x^{2}})^{x}$

a=1, b=1/(x*x), kde b je velmi malé číslo.

Pokud se do závorky umístí právě ono "b" a to jednou, pak se celý člen zmenší o x*x, zatímco koeficient může přirůst maximálně o jeden násobek "x".

$(a+b)^{n}=1a^{n} + \frac{n}{1}*a^{n-1}*b+\frac{n*(n-1)}{1*2}*a^{n-2}*b^{2}...$

Čímž je vidět, že koeficient přiroste maximálně o *n např. o *(n-1)/2, zatímco do členu přibude *b.

Tedy je jasné, že největší člen bude právě ten, v kterém bude co nejmenší mocnina čísla "b".
Tedy 1^x*b^0 a x*1^(x-1) * b^1

Tedy rozklad těchto dvou členů bude 1 + 1/x, další členy budou už jen menží než člen 1/x,

(špatně) --> vzhledem k tomu, že už jen druhý člen je roven nule, jelikož "x" je nekonečno, nemusíš se dalšíma členama zabývat, výsledek limity je "1"

Sam_Hawkins · 15. 04. 2012 14:21

Hezky, diky za zajimave "alternativni" reseni uvahou, oznacuji tema za vyresene :)

peter_44 · 15. 04. 2012 14:25

nz :)

Kondr · 15. 04. 2012 16:20

↑ peter_44:Jen bych upozornil, že věta "druhý člen je roven nule, jelikož "x" je nekonečno, nemusíš se dalšíma členama zabývat" je obecně cestou do pekel, viz třeba

$\lim_{x\to\infty}\sum_{t=1}^x \frac{x-t}{x^2}$

To je součet čísel, kde "už první je nula, protože x je nekonečno", každé další je menší, a přitom ta limita vyjde [budiž ponecháno čtenáři za domácí cvičení].

peter_44

Jo udělal jsem tam chybu, 1/nekonečno + 1/nekonečno+... a takto nekonečno sčítanců bude rovno 1, proto nejde zanedbat nekonečno opakování, přestože je složeno z nekonečně malých množství.

nicméně...

Pokud si tu posloupnost nahradím a opravdu budu vycházet z toho, že do posloupnosti maximálně přibude *x a podělí se to /x*x pak

toto
$(a+b)^{n}=1*a^{n} + \frac{n}{1}*a^{n-1}*b+\frac{n*(n-1)}{1*2}*a^{n-2}*b^{2}...$
(bez toho prvního členu 1*a^n)
Bude určitě menší než toto pokud bude "n" kladné číslo což je:
$n*a^{n-1}*b+n^{2}*a^{n-2}*b^{2}+n^{3}*a^{n-3}*b^{3}...$
Jak je v zadání a=1 a b=1/x*x a exponent n=x, to pak lze přepsat jako
$\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}...$

Tato posloupnost vznikne například při dělení 1 mnohočlenem.
$\frac{1}{a-b} = \frac{1}{a}+\frac{b}{a^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{3}} +\frac{b^{3}}{a^{4}}...$
Pro b=1 a a=nekonečno je vidět, že tato posloupnost stále bude rovna nule.

Tedy smysl má uvažovat pouze první člen 1*a^n (a=1), což je = 1.

peter_44

Jinak jestli jsem dobře pochopil zadání té limity cos tu napsal,

$\lim_{x\to\infty}\sum_{t=1}^x \frac{x-t}{x^2}$

$\sum_{t=1}^x \frac{x-t}{x^2} = \frac{x-1}{x^{2}}+\frac{x-2}{x^{2}}+\frac{x-3}{x^{2}} ...$

$\sum_{t=1}^x \frac{x-t}{x^2} = ( \frac{x}{x^{2}}+\frac{-1}{x^{2}}) + (\frac{x}{x^{2}}+\frac{-2}{x^{2}})...$

Tyto sčítance jsou zde "x" krát
$\frac{x}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}}...$
$\frac{-1}{x^{2}} + \frac{-2}{x^{2}}+\frac{-3}{x^{2}}...$

Já si tady namaluju takovou věc (abych ukázal jak sečíst -1-2-3-4-5...)
-1 -2 -3 -4 -5 -6 ...
-6 -5 -4 -3 -2 -1

Říká se tomu triangulární čísla, které vzniknou součtem posloupnosti, která začíná 1čkou a má diferenci 1, v tomto případě -1 a diferenci -1.
Vzhledem k vlastnosti aritmetické posloupnosti a diference je vždy součet krajních členů např. -1 a -6 roven součtu vnitřních např. -2 a -5.
-1 -2 -3 -4 -5 -6 ...
-6 -5 -4 -3 -2 -1
__________________
-7 -7 -7 -7 -7 -7 (tedy počet_členů*-7)

Navíc posloupnost -1-2-3-4... je zde 2krát, součet pro "x" členů je vždy x*(-1-x)/2

$\frac{x}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}}...$
toto bude rovno 1

$\frac{-1}{x^{2}} + \frac{-2}{x^{2}}+\frac{-3}{x^{2}}...$
toto bude rovno
$\frac{x*(-1-x)}{2*x^{2}}$

Tedy
$\lim_{x\to\infty}\sum_{t=1}^x \frac{x-t}{x^2}= \lim_{x\to\infty}= 1+\frac{x*(-1-x)}{2*x^{2}}$