Matematické Fórum

Skrytý text:
To co jsem napsal souvisí s teorií poměrů a proporcí(čili nejde o nic nového) raději jsem to skryl, protože je to moc dlouhé pro obyčejného člověka a nejspíš i špatně pochopitelné navíc věřím, že poměry a proporci nejsou pro všechny takovou novinkou :)).

Upřímně je mi jedno jestli to někdo bude používat nebo ne, nicméně vzhledem k tomu, že se to tvářilo jako slovní úloha, věřím, že na některých školách se řeší logicky spíše než pomocí vzorečků např. jako úvod k úlohám o pohybu.

Pokud budu mít dvě množství různého druhu například dráha a čas například 18km a 1hodina...
18:1 pak si jistě můžu vytvořit nějaké další dvojice množství dráhy a množství času, mezi kterými bude stejný poměr, nejjednodušeji se poměr nezmění, pokud znásobím dráhu i čas stejným číslem.

36:2; 48:3; 72:4, tedy jinými slovy, vyjdu z údaje 18:1, pojmenuji to jako poměr a řeknu, že poměr je v tomto případě dostatečně popsán tím, že jedno množství (dráha) je 18krát větší než druhé množství (čas) ovšem ve vztahu ke konkrétním jednotkám dráhy a času (vzhledem k tomu, že jde o dvojici množství různého druhu tedy dráha a čas není stejný druh množství).
Tedy jak jsem už psal, ať už bude množství dráhy v kilometrech jakékoliv, množství času v hodinách bude 18krát menší, tedy 18km:1hodina. Tento poměr bude platít pro násobky či podíly daných dvojic množství (například dvojice 18km a 1hodina), nicméně nejde zaměnit jednotky anižby se nezměnil poměr např. 18m:1minutě, což je samozřejmě známo tak jako tak, že z 18km/h nejde udělat 18m/minutu.

Stejně tak pokud vycházím z vlastností poměru můžu říct, že pokud má jít o poměr, pak dvakrát taková dráha zabere 2krát tolik času, třikrát taková dráha zabere třikrát tolik času ... atd atd atd jelikož poměr se nezmění pokud se čas i dráha znásobí stejným číslem.

Čímž je jasně vidět, že právě fyzikální jev jako je dráha a kněmu příslušný čas je v případě rovnoměrného pohybu právě popsaný poměrem dvou množství, jelikož u rovnoměrného pohybu platí, že kolikrát více popluje loď času, tolikrát více urazí dráhy.

Tento poměr je dán právě tím, čemu se dnes říká také "jednotka" přestože svým způsobem o žádnou jednotku nejde, tedy rychlost v km/h, pokud 5hodin je 5opakování 1 hodiny, pak lze paradoxně říct, že při rychlosti 18km/h  a pro 18km a 1hodinu je 18km 18*opakování 1hodiny, což na první pohled se může zdát absurdní, nicméně tato informace sebou nese pouze to, že počet kilometrů je určitým násobkem počtu hodin tedy jde především o poměr nikoliv o absolutní vyjádření kolik je kilometrů a kolik je hodin, přestože se často používá výklad 18km/h jakožto "urazí" 18km za 1hodinu, což svým způsobem je jen jedna z možností, které daný poměr nabízí, zároveň je jasné, že přestože počet kilometrů nejde měřit počtem hodin, přesto na základě uvedeného lze říct, že poměr mezi počtem kilometrů a počtem hodin je vždy stejný a je daný(18). Tedy například pokud 1hodinu zopakuji 18krát dostanu tak 18hodin, což bude 18km, aby byla absurdita toho co jsem se snažil vyjádřit jasná (18km=18 *1hodina, někdo by řekl, rychlost má jednotku km/h takže je to vlastně jasný).

Nicméně pokud mám údaj 18km/h, pak si můžu vytvořit někonečně dvojic dráha:čas mezi kterými je stejný poměr jako 18:1.
Tedy s=v*t => dráha je vždy stejným násobkem množství času (onen násobek udává rychlost)
t=s/v => čas je vždy zpětně stejným podílem množství dráhy (onen podíl udává rychlost)

Vzhledem k tomu, že v dnešní době se považuje za legitimní násobit jednou pětinou (popř. dvěma třetinami) pak si ušetřím spoustu vysvětlování, jelikož je jasné, že se může stát, že dráha a čas budou v poměru 1:5 (dráha:čas), tedy dráha vznikne z času podělením 5ti, což by v tomto případě vystihovala rychlost = 1/5.
v=s/t  poměr dráhy a času je rychlost.

___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________


Myslím, že není potřeba to dál rozpatlávat.

Otázka je jasná
v1 18km:1hodina
v2 14km:1hodina

Parník musí urazit stejnou dráhu po i proti proudu, celkový čas "po+proti" proudu musí být 2hodiny.

Tedy jde už jen oto, čím znásobím dráhu a čas a to tak, aby u v1 i v2 vznikla stejná dráha a součet času u v1 +v2 byl 2 hodiny (musí se znásobit vždy dráha i čas u jedné dvojice stejným číslem, aby zůstal poměr dráha:čas stejný).

______________________________________________________________
Z tohoto tvaru by se daly ukázat obě řešení např.
18*x=14*y
1*x+1*y=2

Stejně tak můžu v1 i v2 podělit 18ti a 14ti
v1 1km:1/18h
v2 1km:1/14h
Nyní už jen něčím vynásobit oba poměry, dráhy zůstanou stejné pokud budu násobit oba poměry stejným číslem
x*1/18+x*1/14=2
Onen násobek "x" bude zároveň dráha.
______________________________________________________________

Pokud nejdřív znásobím v2 zlomkem 18/14 tak dostanu v2 18km:18/14h

Tedy
v1 18km:1hodina
v2 18km:18/14hodiny

Nyní už mám stejné dráhy, pokud budu násobit obě dvojice množství stejným číslem, pak bude splněna první podmínka, že obě dráhy musí zůstat stejné a půjde už jen oto vytvořit součet času 2hodiny.

Mohl bych to opět napsat do rovnice...

ale vyjdu z a*x+a*y=a*(x+y)
Obecně pokud jedno množství znásobím a*krát a úplně jiné množství znásobím stejně tak a*krát, pak jejich součet vyjde stejně jakobych součet obou množství násobil a*krát v celku.
1h+18/14h=16/7h; a*16/7=2  =>  pokud 16/7 vynásobím a=2*7/16 dostanu "2". A zpětně(pokud budu množství násobit v celku, můžu ho násobit i po částech a části pak sečíst) pokud 1h i 18/14h znásobím *2*7/16(=14/16), jejich součet bude 2


Tedy

v1 14/16 * 18  :  14/16 * 1
v2 14/16 * 18  :  14/16 * 18/14

Tedy
v1 15,75 : 7/8 po proudu
v2 15,75 : 9/8 proti proudu
_______________________
31,5km:2h po i proti proudu

Tzn po i proti proudu urazí parník 15,75km, po proudu vzdálenost urazí za 7/8hodiny proti proudu 9/8 hodiny.

Skrytý text:
↑ jelena:
Ahoj,
ty jsi v tom svém zápisu ignorovala jednu věc, že ve chvíli, kdy dáváš do poměru 18/14 tak jde o poměr, který se samozřejmě zachová, pokud se budou násobit oba poměry stejným číslem, tedy
18:1
14:1

Pokud oba poměry budu násobit stejným číslem pak vznikne něco takového
18+18+18... : 1+1+1...
14+14+14... : 1+1+1...

Samozřejmě za takových okolností, že se oba poměry budou násobit stjeným číslem, a já si to zobecním
A:B
C:D
pak samozřejmě A:C tento poměr bude vždy stejný stejně tak B:D bude vždy stejný jako nA:nC stejně tak nB:nD.

Čili v prvním případě, kdy píšeš poměr 18:14 jsi neuvedla, že jde o poměr v případě, že oba časy po i protiproudu budou v nějakém poměru, v tomto případě budou oba časy stejné

V druhém případě jsi uvedla poměr 7:9 a to u času, tento poměr zas souvisí s formou, kdy obě dráhy jsou stejné
7/9 * 18 : 7/9*1 => 14 : 7/9*1
                              14 : 1
Opět pokud budu nyní násobit oba poměry stejným číslem, pak vznikne něco takového
14+14+14... : 7/9 + 7/9 + 7/9...
14+14+14... : 1    + 1    +   1...

Opět obecně A:C bude vždy stejný poměr i B:D bude vždy stejný poměr. Hodnota poměru souvisí stím, že dráhy jsou si v obou případech rovny.

Samozřejmě jde nyní celý příklad spočítat na tom základě, že poměr časů je 7/9 : 1, což je totožné s 7:9, tedy rozdělit 2hodiny v poměru 7:9 to je to co jsi tam tak komplikovaně psala pomocí vzorců.


Stejně tak můžu vytvořit poměr
18:1
28:2
A neustálým násobením vytvořit
18+18+18... : 1+1+1...
28+28+28... : 2+2+2...

Stále bude samozřejmě 18:28 poměr stejný jako n*18:n*28, ovšem v tuto chvíli už porovnáváš dá se říct náhodné dráhy, pokud samozřejmě neupřesníš v jakém jsou poměru časy.

____________________________________________________
V té trojčlence ti něco chybí, správně to mělo být asi takto:
16h...............7h................ dráha = 18*7
2h.................xh................ dráha = 18*x
Pokud bude celkový čas 8krát menší, pak i čas po proudu bude 8krát menší a i dráha po proudu bude 8krát menší.

K té směšovací rovnici se podle mě nemá smysl vracet, protože ono 15,75 co z ní vyjde je ve skutečnosti z poloviny dráha po proudu a z poloviny dráha proti proudu, taky jen díky tomu že je celkový čas 2hodiny tak to vyjde zrovna jako polovina celkové dráhy tedy 15,75.


Jinak myslím si, že jakýkoliv logický postup je lepší než bezhlavé dosazování do vzorečku, podle mě ten původní příspěvěk nebyl komplikovaný, naopak byl velice krátký a jednoduchý.
Taky podle mě tato slovní úloha nemá žádné "standardní řešení", od toho ostatně slovní úlohy jsou, aby si člověk procvičil logické uvažování.

Na druhou stranu "nikde netvrdím" ani nedoporučuji "nepoužívat" vzoreček s=v*t.
Co se týče úměry, možná by se dalo slouhlasit s tím, že z toho co jsem napsal plyne, že dráha a čas si jsou přímo úměrné, ale nikde do přímé úměry nedávám rychlosti, takže o přímé úměře rychlosti a větší rychlosti jsem nikde nemluvil. Spíš jsem tím měl čistě na myslí poměr a proporci, jak jsem i zmiňoval.

18km    1hodina
36km    2hodiny
54km    3hodiny
72km    4hodiny
Tedy opravdu je zde přímá úměra mezi dráhou a časem, nicméně jde spíše o ten "násobek", čili že pokud se dráha něčím znásobí, pak tím stejným se znásobí čas. Čímž vznikne nekonečno různých dvojic a tyto dvojice už jen díky tomu, že vznikly násobkem/podílem tak mezi sebou mají stejný(konstantní) poměr, konkrétně poměr dráhy k času je rychlost, což je ať chceš nebo nechceš matematický fakt.

Skrytý text:
↑ jelena:

A ať se lesknou! :D