Matematické Fórum

Sulfan · 21. 04. 2012 20:11

Ahoj,
řeším příklad na konvergenci určitého zobecněného Riemannova integrálu $\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{dx}{\ln(x)}$ , ale protože je integrand záporný, tak nemůžu použít srovnávací kritérium. Stroj umí integrál numericky vyřešit, ale ani samotnému se mi nepodařilo žádnou metodou určit primitivní funkci.

Jak bych mohl jinak dokázat, že integrál konverguje?

jardofpr · 22. 04. 2012 00:09

ahoj ↑ Sulfan:

mám pocit že primitívna funkcia sa v tomto prípade nedá vyjadriť pomocou elementárnych funkcií

mohlo by fungovať niečo takéto

$\lim_{c \to 0^+}\int_{c}^{\frac{1}{2}}\frac{\mathrm{d}x}{\ln{x}}=\left| \begin{array}{c} x=\mathrm{e}^y \\ \mathrm{d}x = \mathrm{e}^y \, \mathrm{d}y\end{array} \right|=\lim_{c \to -\infty} \int_{c}^{\ln{\frac{1}{2}}}\frac{\mathrm{e}^y}{y}\,\mathrm{d}y\stackrel{\mathrm{\scriptstyle{ozn}}}{=} \lim_{c \to -\infty} I_{c}$

$I_{c}$ je síce záporné číslo pre každé $c<\ln{\frac{1}{2}}$ , ale konečné
integrand je všade záporný, takže
$|I_{c}|=\bigg| \int_{c}^{\ln{\frac{1}{2}}}\frac{\mathrm{e}^y}{y}\,\mathrm{d}y\bigg|=\int_{c}^{\ln{\frac{1}{2}}} \frac{\mathrm{e}^y}{|y|}\,\mathrm{d}y=\int_{c}^{-1}\frac{\mathrm{e}^y}{|y|}\,\mathrm{d}y+\int_{-1}^{\ln{\frac{1}{2}}}\frac{\mathrm{e}^{y} }{|y|}\,\mathrm{d}y$

v medziach $-1$ a $\ln{\frac{1}{2}}$ ide o spojitú funkciu na kompakte, jej integrál sa dá určite zhora ohraničiť konštantou $K$ ,
limita na tento integrál nemá vplyv

na intervale $[c,-1]$ je $\frac{\mathrm{e}^y}{|y|}\leq \mathrm{e}^y$ pričom rovnosť nastane len v $y=-1$ ,

$0 \leq \lim_{c \to -\infty} \int_{c}^{-1} \frac{\mathrm{e}^y}{|y|}\mathrm{d}y<\lim_{c \to -\infty}\int_{c}^{-1}\mathrm{e}^y \,\mathrm{d}y<\int_{-\infty}^{0}\mathrm{e}^y \mathrm{d}y=1$

teda $0<\bigg| \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{\mathrm{d}x}{\ln{x}}\bigg| < 1+K$ a integrál konverguje

Pavel Brožek

↑ Sulfan:

Když ti dělá problém, že je integrand záporný, věděl by sis rady s $\int_{0}^{\frac{1}{2}}-\frac{dx}{\ln(x)}$ ?

↑ jardofpr:

Nestačilo by původní funkci $\frac{1}{\ln(x)}$ dodefinovat v nule nulou a měli bychom spojitou funkci na kompaktu rovnou?

Sulfan · 22. 04. 2012 09:30 — Editoval Sulfan (22. 04. 2012 09:31)

↑ jardofpr: Děkuji za vysvětlení, mohu se ale zeptat, jakou větu využíváme, když řekneme, že funkce je spojitá "na kompaktu" (uzavřený interval?), tak je i její integrál na tomto intervalu omezený?

↑ Pavel Brožek: To bych zkusil takto, nešlo by například říci:

$f:= -\frac{1}{\ln(x)}$
$g:=e^x$

$\int_{0}^{1/2}e^x=\sqrt{e}-1$

a protože $\underset{x \to 0^{-}}{\lim}\frac{f}{g}=\underset{x \to 0^{-}}{\lim}\frac{-\frac{1}{\ln(x)}}{e^x}=0$

$\int_{0}^{1/2}e^x \textrm{ konverguje} \Rightarrow \textrm{původní integrál také konverguje}$

Pavel Brožek · 22. 04. 2012 09:44

↑ Sulfan:

Proč zrovna $g:=e^x$ a ne $g:=1$ ?

jardofpr · 22. 04. 2012 10:49

ahoj ↑ Pavel Brožek:

stačilo, a z môjho komplikovaného výpočtu sa stane jednoriadkové zdôvodnenie ..
ešte aj to ohraničenie bude potom zrejme lepšie, vďaka za postreh :)

↑ Sulfan:

v metrickom priestore je kompaktná množina taká množina K, že ľubovoľná postupnosť prvkov z K obsahuje podpostupnosť, ktorej limita leží v K
uzavretý interval v $\mathbb{R}$ je kompakt
(v euklidovskom priestore by to mali byť uzavreté a ohraničené množiny)

spojitá funkcia na kompaktnej množine nadobúda na tejto množine maximum aj minimum
v mojom postupe to bol interval $[-1,\ln{1/2}]:=I$
tam $\int_{-1}^{\ln{\frac{1}{2}}}\frac{\mathrm{e}^y}{|y|}\,\mathrm{d}y \stackrel{\mathrm{\scriptsize{ozn}}}{=}\int_{I} f(y)\,\mathrm{d}y\leq|\max_{y\in I}f(y)-\min_{y\in I}f(y)|\,.\,(\ln{1/2}-(-1))=:K$

Sulfan · 22. 04. 2012 11:11

↑ Pavel Brožek: Jo aha, no to asi kvůli mému profilovému obrázku :). Každopádně - je to korektní ?

↑ jardofpr: Děkuji, teď je mi to již jasné.

Pavel Brožek · 22. 04. 2012 11:42

↑ Sulfan:

Nevzpomínám si na přesné znění věty, kterou používáš, takže nemůžu říct, že to je korektní.

Sulfan · 22. 04. 2012 12:54

↑ Pavel Brožek: Vycházel jsem z:

Buďte $a,b \in \mathbb{R}, a<b$ , $f,g$ nezáporné funkce na $<a,b)$ tak, že existují vlastní $\int_{a}^{x}f$ a $\int_{a}^{x}g$ $\forall x \in (a,b)$ a zároveň $\underset{b-}{\lim }\frac{f}{g}\in \mathbb{R}$ . Pak platí: $\int_{a}^{b}g$ konverguje $\Rightarrow \int_{a}^{b}f$ konverguje.