Matematické Fórum

Carnaby

Dobrý den, potřeboval bych prosím Vás pomoci s touto úlohou:
Najděte lokální extrémy funkce: $f(x,y)=x^3-4xy+y^2+4x$

Spočítal jsem si parciální derivace podle $x$ a podle $y$ a vyšly mi stacionární body $x_{1}[2,1]$ a $x_{2}[\frac{2}3{},\frac{1}{3}]$ , druhé parciální derivace mám pak $f''xx(x,y)=6x$ , $f''xy(x,y)=-4$ a $f''yy(x,y)=2$ , ovšem odtud mám problém se dopracovat ke správným lokálním extrémům. Proto budu rád, pokud mi je někdo pomůže vypočítat, příp. ověřit zda jsem neudělal chybu v parcialních derivacích.

skoroakvarista · 22. 04. 2012 12:13

↑ Carnaby:
Zdravím, x-ové souřadnice stacionárních bodů mi vyšly stejně, ale y-ové trošku jinak. Druhé parciální derivace jsou spočítané dobře. Teď je potřeba pro oba stacionární body sestavit druhý totální diferenciál a z něj (jakožto z kvadratické formy) určit typ definitnosti pomocí Sylvestra nebo úpravou na čtverce.

Carnaby · 22. 04. 2012 12:17

Mohu se zeptat, jak vám vyšly ty y-ové souřednice?

skoroakvarista · 22. 04. 2012 12:22

↑ Carnaby:
Můžete, ale já vám to neřeknu. $\frac{\partial f}{\partial y}=-4x+2y=0$ , tedy $y=2x$ . U vás to vypadá na rovnost $x=2y$ .

Carnaby · 22. 04. 2012 13:05

Y-ové souřadnce jsou tedy $x_{2}[\frac{2}3{},\frac{4}{3}]$ .
A funkce má lokální maximum $[x_{max},y_{max}]$ v $[2,1]$ a nemá lokální minimum.
Je to správně?

skoroakvarista · 22. 04. 2012 13:34

↑ Carnaby:
Ne tak úplně. Vy jste si asi přepočítal jenom jeden bod. Mně vyšly stacionární body $\vec{a}=[2;4]$ a $\vec{b}=[\frac{2}{3};\frac{4}{3}]$ . 2. totální diferenciál v bodě $\vec{a}$ je pozitivně definitní a tedy zde nastává minimum, v bodě $\vec{b}$ je 2. TD indefinitní, tedy zde nenastává extrém.