Matematické Fórum

ajeto · 14. 05. 2012 00:41 — Editoval ajeto (14. 05. 2012 09:44)

Dobrý večer prajem,

mám vyriešiť systém ODR

$y'=-x+\sin{t}+\cos{2t}$
$x'=y$

a mám použiť metódu variácie konštánt pre systémy ODR

našiel som všeobecné riešenie systému v tvare
$\left(\begin{array}{c} y\\x \end{array}\right)=c_{1}\left(\begin{array}{c} \cos{t}\\ \sin{t}\end{array}\right)+c_{2}\left(\begin{array}{c} \sin{t}\\ -\cos{t}\end{array}\right)\,,\,c_{1},c_{2}\in \mathbb{R}$

neviem však ako použiť metódu variácie konštánt na systém, mám k tomu len poznámku z prednášky

riešenie systému $X'=AX+b$ pomocou variácie konštánt

$X=c\,\Phi+\Phi\int \Phi^{-1}b\,\mathrm{d}t$

$c\,\Phi$ podľa všetkého predstavuje riešenie homogénnej časti, ktoré už mám vyššie ( $\Phi$ by mala byť fundamentálna matica systému)

$\Phi=\left(\begin{array}{cc} \cos{t} & \sin{t}\\ \sin{t} & -\cos{t} \end{array}\right)$

neviem si ale poradiť s výrazom $\Phi \int \Phi^{-1}b\,\mathrm{d}t$ ktorý by mal predstavovať partikulárnu časť riešenia

ako sa dopracovať tomu partikulárnemu riešeniu?
vďaka za každú pomoc

Rumburak

Zdravím.

Metoda VK se použije tak, že konstanty $a, b$ (provedl jsem přeznačení, abych nekomplikoval "typografii" indexy) z vyjádření

$\left(\begin{array}{c} y\\x \end{array}\right)=a\left(\begin{array}{c} \cos{t}\\ \sin{t}\end{array}\right)+b\left(\begin{array}{c} \sin{t}\\ -\cos{t}\end{array}\right)\,,\,a,b\in \mathbb{R}$

prohlásíme za funkce, takže derivace funkcí $x(t), y(t)$ budou

(1) $x' = a' \sin t + a \cos t + b'(-\cos t) + b \sin t$ , $y' = a' \cos t - a \sin t + b'\sin t + b \cos t$ .

Podle dané soustavy DR má platit

(2) $x' -y = 0$ , $y'+x = \sin{t}+\cos{2t}$ .

Dodazením (1) do levých stran (2) dostáváme

$x' -y = a' \sin t + a \cos t + b'(-\cos t) + b \sin t - a \cos t - b \sin t = a' \sin t + b'(-\cos t)$ ,

$y'+x = a' \cos t - a \sin t + b'\sin t + b \cos t + a \sin t - b\cos t = a' \cos t + b'\sin t$ .

Porovnáním těchto výsledků s pravýmí stranami (2) máme soustavu

$a' \sin t - b' \cos t = 0$ ,
$a' \cos t + b' \sin t = \sin{t}+\cos{2t}$ ,

což je především soustava dvou algebraických lineárních rovnic pro neznámé $a', b'$ . Její řešení najdeme (třeba pomocí Crammerova pravidla,
tím způsobem tam dostaneme determinanty odpovídajících matic) a zintegrujeme.

ajeto · 14. 05. 2012 11:23 — Editoval ajeto (14. 05. 2012 11:34)

ďakujem ↑ Rumburak:

priznávam že som ešte trochu zmätený
podľa toho čo píšete teda dostanem (Cramerovo pravidlo)

$\mathrm{det}\left(\begin{array}{cc} \sin{t} & -\cos{t} \\ \cos{t} & \sin{t} \end{array}\right)=1$

$a(t)=\int \mathrm{det}\left(\begin{array}{cc} 0 & -\cos{t}\\ \sin{t}+\cos{2t}& \sin{t}\end{array}\right)\frac{1}{1}\,\mathrm{d}t$

$b(t)=\int \mathrm{det}\left(\begin{array}{cc}\sin{t}& 0 \\ \cos{t}&\sin{t}+\cos{2t}\end{array}\right)\frac{1}{1}\,\mathrm{d}t$

a potom bude všeobecné riešenie nehomogénneho systému

$\left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right)=c_{1}\left(\begin{array}{c} \sin{t}\\ \cos{t}\end{array}\right)+c_{2}\left(\begin{array}{c} -\cos{t}\\ \sin{t}\end{array}\right)+a(t)\left(\begin{array}{c} \sin{t}\\ \cos{t}\end{array}\right)+b(t)\left(\begin{array}{c} -\cos{t}\\ \sin{t} \end{array}\right)=$
$=(c_{1}+a(t))\left(\begin{array}{c}\sin{t}\\ \cos{t} \end{array}\right)+(c_{2}+b(t))\left(\begin{array}{c}-\cos{t}\\ \sin{t} \end{array}\right)\,\,\,\,,\,\,\,\,c_{1},c_{2} \in \mathbb{R}$ ??

takže zápis

$\Phi\int \Phi^{-1}b \,\mathrm{d}t$ vlastne znamená že sa integruje po riadkoch vektora $\Phi^{-1}b$ a potom sa ešte zľava násobí maticou $\Phi$ a mohol by som to spočítať aj priamo tak??

Rumburak · 14. 05. 2012 11:55

↑ ajeto:
To obecné řešení nehomogenní rovnice mi připadá správně (podrobnou zkoušku derivováním jsem ale nedělal).
Ostatní si potřebuji ještě rozmyslet, abych neodpověděl unáhleně.

ajeto · 14. 05. 2012 12:10

↑ Rumburak:

každopádne ďakujem za pomoc

Rumburak · 14. 05. 2012 13:41

↑ ajeto:
I ten zbytek je správně. Soustave

$a' \sin t - b' \cos t = 0$ ,
$a' \cos t + b' \sin t = \sin{t}+\cos{2t}$

je totéž, co

$\Phi \left(\begin{array}{c} a' \\ b' \end{array}\right) = \vec{f} := \left(\begin{array}{c} 0 \\ \sin{t}+\cos{2t} \end{array}\right)$ , kde $\Phi :=\left(\begin{array}{cc} \sin{t} & -\cos{t} \\ \cos{t} & \sin{t} \end{array}\right)$ ,

a tedy

$\left(\begin{array}{c} a' \\ b' \end{array}\right) = \Phi^{-1}\vec{f}$ ,

$\left(\begin{array}{c} a \\ b \end{array}\right) = \int \Phi^{-1}\vec{f}$ ,

partik. řešení pak je

$\left(\begin{array}{c} x_p \\ y_p \end{array}\right)=a\left(\begin{array}{c} \sin{t}\\ \cos{t}\end{array}\right)+b\left(\begin{array}{c} -\cos{t}\\ \sin{t} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \sin{t} & -\cos{t} \\ \cos{t} & \sin{t} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} a \\ b \end{array}\right)=\Phi \int \Phi^{-1}\vec{f}$ .