Matematické Fórum

↑ ajeto:

Ahoj. Máš pravdu, je v tom zmatek. Snad ho ještě nezvětším, když nabídnu obecnější pohled.

Mějme (pro jednoduchoest reálný) vektorový proostor , na němž je definován skalární součin . Potom v tomto prostoru existují
ortonormální posloupnosti , kde   je přirozené číslo nebo i - podle dimense prostoru . "Ortonormální" znamená, že je
splněna podmínka (symbol vpravo je tzv. Kroneckerovo delta nabývající  hodnoty 1 pro n = k  a hodnoty  0 pro n <> k.).
Je-li ,  potom "řadu"

(1)                                           

nazýváme Fourierovým rozvojem (řadou) prvku   v ortonormálním systému .
Za určitých přadpokladů - například když je ortonormélní báze konečnědimesionálního prostoru -   je (1) rovno prvku  .
Ale můze to platit i v obecnějších případech. Například když za vezmeme prostor funkcí Lebesgueovky integrovatelných
s kvadrátem na intervalu   a v něm nekonečný ortonormální systém vytvořený (normalisací) z ortogonálního systému tvořeného
funkcemi

                              .

Odpovídající Fourierova řada funkce pak konverguje k funkci , ovšem v normě prostoru .  Dá se ukázat, že konverhuje i "skoro všude",
tj. až na body, tvořící množinu nulové Lebesgueovy míry (ale nevím, jak Ti tyto informace budou srozumitelné) . Když je funkce "rozumná" (například
když má v bodě vlastní derivaci) , pak je v tomto bodě zajištěna i bodová konvergence.

↑ ajeto:

Je to tak.  V abstraktním Hilberově prostoru je definice Fourierovy řady jednoznačná, v "klasické"  anylýze může být těch přístupů více,
protože ta teorie tam už není tak krystalicky průzračná jako v H.p.

V praktických úlohách je bodová konvergence jistě nejdůležitější. U "klasických" F.ř. je zajištěna např. vlastní derivací v bodě
nebo konečnou variací na intervalu (tedy rovněž absolutní spojitostí).  Spojitost a konečná variace na intervalu zajišťují
lokálně stejnoměrnou konvergenci.

↑ ajeto:
Ještě jedna věc mne napadla.   Třída funkcí, pro které se trigonometrické Four. řady zavádějí, musí být volena tak, aby existovaly
(a konvergovaly) integrály, jimiž jsou definovány koeficienty F.ř.  Např. ve školních kursech , kde se předpokládá znalost pouze
Riemannova integrálu, budou kriteria na rozvíjenou funkci přísnější, než v kursech vycházející z integrálu Lebesgueova a pod.

↑ ajeto:
Vztah Riemannova integrálu k Jordanově míře (což bude asi Jordan-Peanův objem, o kterém jsem kdysi letmo slyšel)
mi není znám. Ale pamatuji si větu, že omezená funkce má na uz. intervalu Riemannův integrál právě tehdy, když
množina jejích bodů nespojitosti na tomto intervalu má Lebesgueovu míru rovnu 0.

Naproti tomu  Lebesgův integrál může existovat i tehdy, když funkce není spojitá v žádném bodě (viz Dirichletova funkce). 
Pro L-integrál je podstatná tzv. měřitelnost množin, přes které se integruje, a měřitelnost funkcí, které jsou integrovány. 
Platí věta, že libovolná nezáporná měřitelná funkce f definovaná na měřitelné množině M má přes tuto množinu L-integrál,
jehož hodnota ale nemusí být konečná. Když L. míra mn. M je konečná a když měřitelná funkce f je na M omezená, potom
už L-integrál fce f má konečnou hodnotu.

Jak mohou vypadat měřitelné funkce na intervalu (a, b), o tom nás poučují tzv. Baireovské funkce, které jsou měřítelné.
Třídy těchto funkcí jsou konstruovány transfinitní indukcí:

  (funkce 0-té Baireovy třídy) = spojité funkce.
  (funkce n-té Baireovy třídy) = funkce, které jsou bodovými limitami posloupností funkcí z   pro libovolná k < n . 

(Doufám, že jsem tu definici nepopletl - je možné, že je nutno ji ještě upravit tak, aby tyto třídy byly disjunktní - teď si
nevzpomenu, musel bych se kouknout do nějaké literatury, kterou ale nemám po ruce).

Platí věta, že každá funkce libovolné Baireovy třídy definovaná na intervalu je měřitelná.

↑ ajeto:
Charakterisaci Lebesgueovsky měřitelných množin jsem zde napodával - ani mně momentálně žádná nenapadá.
Jen to, že Lebesgueovky měřitelné množiny tvoří -algebru obsahující -algebru Borelovských množin
(generovanou otevřenými resp. uzavřenými množinami).

↑ ajeto:
Charakteristickou funkcí množiny všech racionálních čísel je tzv. Dirichletova funkce, jejímiž body nespojitosti  jsou
VŠECHNA reálná čísla (racionální i iracionální, protože hustými množinami v jsou i  ).
Tato funkce má na [0, 1] L-integrál (rovný 0) , protože je měřitelná,  ale R-integrál nemá (horní součty jsou vždy 1,  dolní vždy 0) .

Jiným užitečným příkladem je Riemannova funkce definovaná R(x) := 0 pokud x je iracionální , R(m/n) := 1/n  pokud m,n jsou celá
nesoudělná, n > 0.  Ta je spojitá právě ve všech iracionálnách bodech a její R-integrál přes [0, 1]  je 0.

↑ Rumburak:

ak sa môžem ešte spýtať,
má Parsevalova rovnosť nejaký praktický úžitok pri práci s periodickými funkciami?

teda, niečo podobne využiteľné ako je  napríklad rovnomerná konvergencia Four.radu k svojmu súčtu
pri aproximácii danej funkcie

z toho čo som čítal sa zdá že by to mohlo mať zmysel pri aproximácii
nejakých nameraných dát ale nie je mi úplne jasné ako to funguje
vďaka