Matematické Fórum

vera2012 · 03. 11. 2008 17:21

Ahoj, potřebovala bych poradit s výpočtem jednoho příkladu:
Je dán pravidelný čtyřboký hranol ABCDA´B´C´D´:
AB = BC = CD= DA atd = a = 4 cm
AA´= 5,5 cm
M - střed A´D´

Vypočítejte vzdálenost bodu B od přímky p:
a) p = A C´
b)p= CM

Mohl by mi někdo z vás pomoci?

U toho a) si myslím, že si vypočítáme délku A C´ tak, že A C´je přepona pravoúhlého trojúhelníka A C C´.
Potom bych udělala kolmici z A C´k bodu B - a toto by něla být hledaná vzdálenost.
ale nějak nevím jak dál, nebo jestli jsou mé úvahy vůbec správné.

Předem děkuji za rady!

jelena · 03. 11. 2008 18:58

↑ vera2012:

Zdravím :-)

a) Vše je OK.

Uvažuj trojuhelník ABC´(pravoúhlý), ve kterém AC´je přeponou, AB, BC´jsou odvesny. Vzdálenost B od přímky AC´ je výška na str. AC´, jak správně navrhuješ. Pro výpočet můžeš použit Euklidovu větu o výšce.

b) bod M náleží A´D´ (pro stanovení délky CM uvažuj trojuhelník CD´M (pravoúhlý). Vzdálenost bodu B od CM je výška na str. CM v rovnoramenném trojúhelníku CBM.

Pokud se nepodaří, tak se ozví. OK?

Ivana · 03. 11. 2008 20:23

↑ jelena:Zdravím,
at' počítám, jak počítám, stále tam mám o jednu neznámou navíc. :-(
Kdepak asi je chyba ? Děkuji za pomoc . :-)

vera2012 · 03. 11. 2008 20:59

↑ jelena:

Děkuji ti moc za pomoc....už jsem přišla na to za a) (to b jsem ještě neměla čas řešit), snad je to tedy správně:
Uvažovala jsem trojúhelník ABC´a v něm jsem si pomocí kosinu vypočítala úhel alfa při vrcholu A (cos alfa = AB/AC´). Pak jsem uvažovala trojúh. ABS (S je pata kolmice AC´na B) a když už znám úhel alfa a stranu AB, vypočetla jsem pomocí sinu stranu v.
Doufám že jsem postupovala správně, vyšla mi vzdálenost bodu B od přímky AC´přibližně 3,4 cm.

jelena · 03. 11. 2008 23:22

↑ Ivana:

Ivano, zdravím srdečně :-)

Já se snažím co nejvíc počítat "v pismenkach", abych se vyhla číselným mezivýpočtům spojeným se zaokroulením. A také je možné, že číselné mezivýpočty ani nebudu potřebovat, jelikož konečný výsledek bude nejaký hezký algebraický výraz z původně zadaných údajů.

Postupů, jak v pravoúhlem trojuhelníku vypočítat "výšku na přeponu", pokud znám jednotlivé strany, je hodně. Osobně se mi libí odvození výšky z výpočtu obsahu trojuhelníku pomocí různých vzorců.

Jako příklad použiji pravoúhlý trojuhelník ABC (a, b - odvesny, c - přepona) - není z tohoto zadání, myslím obvyklé označení.

Obsah pravouhlého trojuhelníku lze vypočítat jako $S=\frac{ab}{2}$ a také jako $S=\frac{cv_c}{2}$

$\frac{ab}{2}=\frac{cv_c}{2}$

$v_c=\frac{ab}{c}$

Nevím proč, ale cesta přes obsahy se vůbec neučí :-( a přitom je velmí schůdná.

Euklidova věta (odvěsna, výška):

$a^2=cc_a$ , $b^2=cc_b$ , ${v_c}^2=c_ac_b$

${v_c}^2=\frac{a^2}{c}\cdot{\frac{b^2}{c}}=\frac{a^2b^2}{c^2}$

${v_c}=\frac{ab}{c}$

Ke stejnému výsledku dojdeme použitím podobnosti "malých trojuhelníků" a velkého původního ABC. Také přes goniometrické funkce nebo řešením soustav rovníc sestavených Pythagorových vět pro malé trojuhelníky...

↑ vera2012:

Doporučuji pro řešení b) - výpočet výšky v rovnostranném trojuhelniku ABM použit právě rovnost obsahu vypočtených dle různých vzorců - jednou přes stranu CB a výšku na stranu CB v trojuhelníku ABM. Stejný obsah ABM bude také vypočten přes stranu CM a výšku na stranu CM (a tuto výšku hledáme)

OK?

dr.dracek · 04. 11. 2008 00:23

↑ Ivana:

tak zkusím dokončit tvoji myšlenku:
$7,9b_2 - b_2^2 = v^2$

opět ale vidím pythagorovu větu, pro malý trojuhelník s odvěsnami v a b_2; a přeponou 6,8
$v^2 + b_2^2 = 6,8^2$

po dosazení dostávám
$(7,9b_2 - b_2^2) + b_2^2 = 6,8$

tím získám b_2 a pak už dosadím do vzorce, kterým jsi končila
$7,9b_2 - b_2^2 = v^2$

ahoj.

Ivana · 04. 11. 2008 06:37

↑ dr.dracek:
Ahoj, tak ted vidím, že už jsem byla unavená, já jsem tu jednoduchost neviděla. Děkuji za pomoc. :-)

↑ jelena:

Zdravím Jeleno,
Děkuji za dokonalý přehled. Zdeněk tady sedí vedle mne a pozdravuje tě též. :-)

vera2012 · 05. 11. 2008 21:25

Moc vám všem děkuji za rady a nápady!!

Matematické Fórum

#1 03. 11. 2008 17:21

Stereometrie - vzdálenost bodu od přímky

#2 03. 11. 2008 18:58

Re: Stereometrie - vzdálenost bodu od přímky

#3 03. 11. 2008 20:23

Re: Stereometrie - vzdálenost bodu od přímky

#4 03. 11. 2008 20:59

Re: Stereometrie - vzdálenost bodu od přímky

#5 03. 11. 2008 23:22

Re: Stereometrie - vzdálenost bodu od přímky

#6 04. 11. 2008 00:23

Re: Stereometrie - vzdálenost bodu od přímky

#7 04. 11. 2008 06:37

Re: Stereometrie - vzdálenost bodu od přímky

#8 05. 11. 2008 21:25

Re: Stereometrie - vzdálenost bodu od přímky

Zápatí