Matematické Fórum

Melchior · 23. 05. 2012 10:46

Zdravím a obracím se na Vás s prosbou o pomoc při řešení příkladu ve kterém jde o to, že mám zjistit, jestli je daná množina konvexní. Nejsem si jist, zda mám správný postup.
Mám zadanou množinu

$M = \{(x,y) \in \mathbb{R}^{2}; (x^3 + e^y)log(x^3 + e^y) \le 49, x \ge 2, y\in \mathbb{R}\}$

a zdali je konvexní, tak musím zjistit, jestli je daná funkce v první nerovnosti konvexní?
Pokud totiž správně chápu postup, tak průnik konvexních množin je konvexní množina a druhá nerovnost
$x \ge 2$
je určitě konvexní množina (polorovina daná konstatní funkcí)

takže k tomu, abych zjistil, jestli je M konvexní stačí udělat hessián té funkce a zjistit, jestli je pozitivně semidefinitní?

Díky za každou pomoc

Melchior · 23. 05. 2012 13:22

nikdo nic? podle wolframu i odhadovaného výpočtu mi vyšlo, že je množina konvexní (na základě věty o průniku dvou konvexních množin), jen nevím, jestli je to skutečně správně

Stýv · 23. 05. 2012 14:02

jestli se nepletu, tvůj postup by měl být správnej

Melchior · 24. 05. 2012 08:18

tak jsem to nakonec vcera konzultoval ve skole a je to jednodussi (tim zpusobem co jsem napsal to jde taky, ale je to zdlouhave derivovani).. existuje veta o konvexite slozene funkce, ktera rika, ze pokud je vnitrni funkce konvexni a vnejsi konvexni a neklesajici, tak je i slozena funkce konvexni.. takze staci overit ze $x^{3} + e^{y}$ je konvexni (coz je) a pak overit druhou derivaci funkce jedne promenne, ze funkce $zlogz$ je konvexni a neklesajici... no a vzhledem k tomu, ze druha derivace teto funkce je $\frac{1}{z}$ tak ta je kladna pro vsechna $x^{3} + e^{y}$ z dane mnoziny (protoze x je vetsi nebo rovno dvema a exponencialni funkce je kladna pro vsechna realna cisla)

Matematické Fórum

#1 23. 05. 2012 10:46

konvexita množiny

#2 23. 05. 2012 13:22

Re: konvexita množiny

#3 23. 05. 2012 14:02

Re: konvexita množiny

#4 24. 05. 2012 08:18

Re: konvexita množiny

Zápatí