Matematické Fórum

Zdravím také.

Ke druhé otázce:
Zkus u prostoru všech komplexních čísel nad tělesem reálných čísel nalézt bázi. Nápověda:

K první otázce:
Zkus najít 3 lineárně nezávislé vektory.

↑ aaoswego:

Ad 2: Správně ,  seznam komplexních čísel (1, i) je bází ("nad tělesem reál. č."). 

Ad 1: Seznam (i, 0, 0) komplexních čísel nemůže být lineárně nezávislý (ať zvolíme těleso jakkoliv), protože vektor 0 se v něm vyskytuje 2x.
(Vektory v naší úloze jsou sama komplexní čísla,  nikoliv trojice kompl. čísel, pokud jsi to myslel takto.)
Máš najít tři kompl. č.  a, b c  taková, aby rovnice  xa + yb + zc = 0  nebyla splněna pro žádnou netriviální trojici rac. čísel x, y, z,
tedy aby z podmínek
               
                                 xa + yb + zc = 0 ,

                                 x, y, z  jsou racionální čísla

plynulo  x = y = z = 0 .

O vektorech (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) v R3 zde nebyla řeč, ani o obdobných vektorech v C3 .
Je zde řeč o komplexních číslech, tj. v podstatě o vektorovém prostoru R2  uspořádaných dvojic (a, b) reálných čísel
(tuto dvojici zapisujeme v alg. tvaru  o a + b*i  )   s tím, že  R2  chápeme jako prostor nad tělesem racionálních čísel.
Je potřeba rozlišovat (a, b , c)  jako uspořádanou trojici čísel (tedy jeden vektor v R3) a
(a, b , c)  jako usp. trojici vektorů z nějakého jiného prostoru, která případně může být bází toho prostoru a pod.


Ten příklad

a=1+i
b=sqrt(2)+2i
c=sqrt(3)+3i

vektorů lin. nezávislých "nad tělesem rac. čísel" mně připadá, že je správně, podrobné ověření výpočtem už dnes nestíhám.

Když jsou 3 vektory z vektorového prostoru V (nad daným tělesem T) lineárně nezávislé, pak to znamená, že dimense toho prostoru je nejméně 3.
Kdyby totiž byla menší než 3, pak by v něm trojice lineárně nezávislých vektortrů nemohla existovat (to plyne ze Steinitzovy věty).

Hledat dimensi C nad Z nemá smysl, protože takový vektorový prostor neexistuje: Z (obor integrity celých čísel) totiž není těleso a vektorový prostor
je vždy "nad tělesem",  jak je řečeno v jeho definici.

Když R2 chápeme  jako vekt. prostor nad tělesem reálných čísel, pak jeho báze je tvořena např. vektory u = (1,  0),  v = (0, 1) , protože jsou
lineárně nezávislé ("nad R") a každý vektor w = (a, b) z R2  se dá vajádřit ve tvaru  w = a*u + b*v  . Takže dimense tohoto prostoru pak je 2.
(To "nad R" znamená, že v lienérních kombinacích jsou přípustné koeficienty pouze z  R.)
Uvedu ještě jeden příklad. Komplexní čísla tvoří vektorový prostor i nad tělesem C komplexních čísel. V tomto případě má dimesi 1, protože jeho
bází je (např.) {1} : každé kompl. číslo "z" se totiž dá vyjádřit ve tvaru  z = z*1  (na levé straně rovnice vnímáme "z" jako prvek vektprového
prostoru, na pravé straně jako prvek tělesa).

Když úkol (oba víme, který) zjednodušíme na volbu

a=1
b=sqrt(2)
c=sqrt(3) ,

můžeme tím dokázat, že R chápané jako vekt. prostor nad tělesem Q racionálnách čísel má dimensi nejméně 3 . Tím spíše pak i C nad Q má
dimensi nejméně 3, protože nemůže mít menší dimensi než jeho porprostor R nad Q. 
Pokud jsi měl na mysli tuto úvahu, pak jsi to myslel správně. :-)

POZN. Z posledního nápadu by se dalo dokázat i více, a sice to, že dimense C nad Q je nejméně 6 .