Matematické Fórum

ajeto · 30. 05. 2012 12:50

dobrý deň

mám otázku

aký je vzťah medzi
funkciou s ohraničenou variáciou (FOV) a funkciou po častiach spojite diferencovateľnou (FPSD)

platí niektoré z tvrdení

$\mathrm{FOV} => \mathrm{FPSD}$ (ak má funkcia ohr.var., je potom po častiach spojite dif.?)
$\mathrm{FPSD} => \mathrm{FOV}$ ?

alebo môže byť

$\mathrm{FOV} \wedge \neg \mathrm{FPSD}$

a

$\mathrm{FPSD} \wedge \neg \mathrm{FOV}$

nejak sa mi nedarí z toho vymotať

definícia po častiach spojite diferencovateľnej funkcie, s ktorou pracujem je nasledovná:

Funkciu nazveme po častiach spojite dif. na intervale $I=[a,b]$ , ak existuje konečný počet bodov
$\{t_{i}\}_{i=0}^{n}\subset I$ (pre ktoré platí $t_{i} < t_{j}$ pre $i < j$ a $t_{0}=a$ , $t_{n}=b$ ) tak,
že na každom intervale $(t_{i-1},t_{i})\,,\,i=1,2,\dots,n$ je funkcia spojite dif. a
v každom bode $t_{i}$ existujú vlastné limity derivácie zľava aj sprava
(v $t_{0}$ len sprava a v $t_{n}$ len zľava)

ďakujem za každý komentár

Rumburak

Ahoj.

1) Funkce $f$ má na intervalu $I=[a,b]$ omezenou (nebo též konečnou) variaci právě tehdy, když ji lze vyjádřit ve tvaru $f = g - h$ ,
kde funkce $g, h$ jsou monotonní (zajímavé jsou případy, kdy monotonie obou funkcí $g, h$ je stejného typu - obě neklesající nebo obě nerostoucí).
Funkce monotonní na otevř. intervalu má vlastní derivaci skoro všude v tomto intervalu (Lebesgueova věta o derivaci monotonní funkce), avšak
nemusí být ani po částech spojitá (množina bodů nespojitosti mon. fce může být i nekonečná spočetná) a tím méně po částech hladká v uvedeném
smyslu (viz též Cantorova funkce).

2) Má-li funkce $f$ derivaci $f'$ spojitou na $(t_{i-1},t_{i})$ a spojitě rozšiřitelnou na uzávěr tohoto intervalu, pak $f'$ má na každém $[t_{i-1},t_{i}]$
Riemannův (což je rovněž Lebesgueův) integrál a každá z funkcí

(1) $g_i(x) := C_i +\int_{t_{i-1}}^x f'(\xi)\, \mathrm{d}\xi , x \in [t_{i-1},t_{i}]$ ,

kde konstantu $C_i$ volíme tak, aby $g_i(x) = f(x)$ v $(t_{i-1},t_{i})$ , je absolutně spojitá na $[t_{i-1},t_{i}]$ (věta z teorie L. integrálu) a má tedy
na tomto intervalu konečnou variaci. Konečné variace na Intervalu $I$ pak budou mít funkce $f_i$ definované předpisem

$f_i(x) := g_i(x) \text{pro} x \in [t_{i-1},t_{i}] , f_i(x) := 0 \text{pro} x \in I - [t_{i-1},t_{i}]$

a jejich (konečný) součet, který se od funkce $f$ může lišit nejvýše na konečné množině krajních bodů intervalů $[t_{i-1},t_{i}]$ . Tím je dokázána
konečnost variace funkce $f$ na intervalu $I$ .

(Doufám, že jsem někde neujel.)

EDIT. Tak přece jen - popletl jsem si sčítání a násobení. Část 2 jsem poněkud přepracoval.