Matematické Fórum

Moonchild · 04. 06. 2012 14:53

Ahoj, mohl by mi prosím někdo ověřit, zda jsem postupoval správně? Případně mi říct, co jsem udělal špatně. Nejsem si tímto typem příkladů moc jistý a zdá se mi, že mi to vyšlo nějak ošklivě. Bohužel nevím, jak zde napsat matici, tak jsem jí vložil jako obrázek.

Z toho jsem vyvodil, že pro $p=1$ má rovnice nekonečně mnoho řešení:
$M=(\frac1p,0,0,0,0)+<(-\frac1p,1,0,0,0),(-\frac1p,0,1,0,0),(-\frac1p,0,0,1,0),(-\frac1p,0,0,0,1)>$
a pro $p\not = 1$ má také nekonečně mnoho řešení:
$x_2 = \frac{t}{p-1}, x_1 =\frac{t}{1-p}, x_3 =\frac{t}{1-p}, x_5 = u, x_4 = 1-\frac{3t-3pt}{-p^2+2p-1}$
$M = (0,0,0,1,0)+<(\frac{1}{1-p},\frac{1}{p-1},\frac{1}{1-p},\frac{3-3p}{-p^2+2p-1},0),(0,0,0,-1,1)>$

Nedopracoval jsem se k žádnému p, pro které by soustava neměla řešení. Přehlédl jsem něco, nebo má soustava řešení pro všechna p? Děkuji za jakoukoliv případnou radu

LukasM · 04. 06. 2012 15:24

↑ Moonchild:
Řešení pro p=1 správně bude, a mohl jsi tam za to p tu jedničku rovnou dosadit. Jinak je to podle mého celé špatně. Vezmu třeba tvé řešení pro $p\neq 1$ , a zvolím t=0 a u=1. Pak by podle zadání mělo platit 1+1=1, což evidentně neplatí. Navíc ve výrazu pro x4 je ve jmenovateli nějaká funkce p, a nikde neříkáš co dělat, když by tam byla nula.

Nebudu to ani opravovat, ta matice ze které všechno čteš není v horním stupňovitém tvaru. Hotovo.

Pokud to chceš vypočítat, tak ji nejdřív uprav na HST. A doporučuju začít znova a jako první úpravu provést přehození prvního a třetího řádku. Pak si ten parametr neroztaháš po celé matici.

Moonchild · 04. 06. 2012 16:17

Mně právě dělá problém upravovat matice s parametrem do stupňovitého tvaru, tak jsem se snažil upravit to aspoň tak, abych dostal co nejvíce nul. Po úpravě do stupňovitého tvaru mi to také vyšlo ošklivě. Parametr se mi roztahal po matici i po prohození řádků a navíc mi vznikla druhá mocnina.

Od druhého řádku jsem odečetl první a od třetího jsem odečetl p-násobek prvního řádku. Měl bych zde uvést pro $p \not = 0$ a vyřešit rovnici ještě zvlášť pro p = 0? Nakonec jsem přičetl druhý řádek ke třetímu. Mohl by jsi mi prosím poradit, kde jsem to mohl upravit lépe, aby mi to nevyšlo takto? Děkuji

LukasM · 04. 06. 2012 16:32

↑ Moonchild:
Tohle ale není vůbec ošklivé, mám to stejně. Ale jinak i kdyby bylo, tak pokud chceš tyhle úlohy řešit, tak potřebuješ HST, ne matici s hodně nulama. Nemůžeš si říct "mně se nechce upravovat na HST, tak tam místo toho udělám víc nul". Tak to nefunguje.

Teď krásně oddělíš případ p=1, vyřešíš ho, a pro $p\neq-1$ můžeš druhý a třetí řádek vydělit výrazem $(p-1)$ .

Případ p=0 není potřeba řešit zvlášť, jak jsem popisoval např. tady. Ani pro p=0 jsi nedělal neekvivalentní úpravu.

vanok · 04. 06. 2012 19:34 — Editoval vanok (04. 06. 2012 19:41)

Ahoj ↑ Moonchild:
Len male poznamky:
Tvoja uprava v prvej casti je dobra, a netreba sa s nou viac trapit.
Co sa tyka diskuzie, tu treba lepsie vysvetlit.
1° pripad $p=1$
z uvedenych uprav, je jasne ze tvoj system je equivalentny z jedinou rovnicou:
$x_1+x_2+x_3+x_4 +x_5=1$ (nezname su $x_i$ )
V tomtp pripade mozes vyjadrit riesenie v parametrickej forme napriklad takto:

$x_1=t_1 \\ x_2=t_2 \\ x_3= t_3 \\x_4 = t_4\\x_5=1-t_1-t_2+-t_3-t_4$
( $t_i$ su lubovolne parametre)
napisat afinnu bazu tohto riesenia by ti nemalo robit problem.
2° pripad $p \neq 1$
tvoja matica je potom equivalentna
(pisem jej riadky )
p 1 1 1 1 |1
1 -1 0 0 0| 0
1 0 -1 0 0|0

Tu treba uvazovat dva podpripady $p=0$ a $p \neq 0$

Staci ??? Rediguj zvysok sam...

Matematické Fórum

#1 04. 06. 2012 14:53

Soustava rovnic s parametrem

#2 04. 06. 2012 15:24

Re: Soustava rovnic s parametrem

#3 04. 06. 2012 16:17

Re: Soustava rovnic s parametrem

#4 04. 06. 2012 16:32

Re: Soustava rovnic s parametrem

#5 04. 06. 2012 19:34 — Editoval vanok (04. 06. 2012 19:41)

Re: Soustava rovnic s parametrem

Zápatí