Matematické Fórum

Tomas.P · 15. 01. 2010 10:29

Znovu zdravím všechny borce přes matematiku. Poslední dobou řeším v matematice hlavně úlohy z lineární algebry a někdy se stane, že narazím na příklad, kterému moc nerozumím. Pomalu se už do lineární algebry dostávám, ale jde to ztuha :(
Moc by mi pomohlo, kdyby jste mi poradili. Mám tady dva takové příklady.

**************************************************************************************************************************

1.F je množina všech reálných fcí. Pro fce f,g náleží do F definujme součet f+g náleží do F takto: (f+g)(x)=f(x)+g(x), x náleží do R. Pro fci f náleží do F a r náleží do R (reálná čísla) definujme součin r*f náleží do F takto: (r*f)(x)=r*(f(x)), x náleží do R.

a) patří množina W1={f náleží do F: 2f(x)-f(o)=3} do F (W1 jako podprostor F).
b) patří množina W2={f náleží do F: 2f(x)-f(-x)=0} do F (W2 jako podprostor F).

c) patří množina W3={p náleží do Pn: 2p(0)+3p(1)=0} do Pn (W3 jako podprostor všech polynomů Pn).
d) patří množina W4={p náleží do Pn: a*x*x+b*x+c, a, b, c náleží do R, a se nerovná 0} do Pn (W4 jako podprostor všech polynomů Pn).

Výsledky: W1 není podprostor, W2 je podprostor, W3 je podprostor, W4 není podprostor. Výsledky znám, postup ne :(

**************************************************************************************************************************

2.Vektorový prostor R na 4. V závislosti na parametrech a,b rozhodněte o lineární zaávislosti či nezávislosti zadaných vektorů:

u1=(1, 2+a, 4, 6) ; u2=(1, 2, 3-b, 3) ; u3=(2, 4, b-6, 7) ; u4=(1, 2-a, 2-b, 1)

Výsledek vyšel, že pro a se nerovná 0, b se nerovná 6 jsou lin. nezávislé, jinak jsou lin. závislé. Když jsem to řešil, tak jsem došel jen k matici, jen nevím, jak jí řešit s parametry:

1 1 2 1 0
2+a 2 4 2-a 0
4 3-b b-6 2-b 0
6 3 7 1 0

LukasM · 19. 01. 2010 00:37

↑ Tomas.P:
Ahoj. Koukám nezodpovězené téma..

K tomu prvnímu ti už Kondr něco řekl tady, takže to nechám být.

Ke druhému - matice soustavy s parametry. Obecně: dá se to dělat stejně jako bez parametrů - upraví se to na horní stupňovitý tvar a diskutuje se počet řešení. Je tady jenom jeden háček - musíš dávat pozor, jestli náhodou pro nějakou hodnotu nenásobíš nějakou rovnici nulou. Nemůžeš jen tak vynásobit rovnici třeba (a-4), protože kdyby a bylo 4, tak je to neekvivalentní úprava - takže to uděláš (pokud už to jinak nejde), ale budeš si to pamatovat a pak si ten případ a=4 vyřešíš zvlášť. Nicméně přičíst k nějakému řádku a-násobek jiného je bezpečné - v nejhorším případě přičteš nulu, takže neděláš vlastně nic, a to se smí.
Další problém může nastat po té úpravě - když bude první nenulový prvek nějakého řádku třeba a, pak je potřeba mít na paměti, že pro a=0 to vůbec není (resp. nemusí být) horní stupňovitý tvar, a opět je třeba ten případ pak vyřešit zvlášť a matici na horní stupňovitý tvar doupravit.
Nějaká soustava s parametrem se řešila tady.

Jinak vzhledem k tomu že nás zajímá jen LN/LZ a ne dimenze generovaného prostoru, šlo by to třeba řešit spočítáním determinantu matice soustavy - homogenní soustava má netriviální řešení právě když je její matice singulární a její determinant tedy nulový.

A samozřejmě je vhodné si přehazovat řádky/sloupce tak, abychom si ten parametr neroztahali po celé matici soustavy, aby v tom nebyl guláš. Zajímá nás jenom hodnost matice soustavy, ne řešení, takže je klidně možné provádět sloupcové úpravy. Jak tak na tu tvoji matici koukám, možná by se dala nějakou šikovnou úpravou dost zjednodušit (napadá mně ke třetímu sloupci přičíst čtvrtý, pak to celé příčíst k prvnímu, a ... no, ještě něco, ale přemýšlej taky sám :-)) Řešení si můžeš zkontrolovat tady.

Snad jsem nic nespletl. Kdyžtak se ptej.

Matematické Fórum

#1 15. 01. 2010 10:29

Vektorové podprostory+lin.závislost, popř. nezávislost

#2 19. 01. 2010 00:37

Re: Vektorové podprostory+lin.závislost, popř. nezávislost

Zápatí