Matematické Fórum

aaoswego · 04. 06. 2012 17:27

Mam zjistit, pro jaky p a q konverguje integral
$\int_{0}^{inf}\frac{dx}{x^{p}+x^{q}}$ . Pouzil bych srovnani s 1/x, ze kteryho pak plyne $x<x^{p}+x^{q}$ , jenze tam uz nevim, jak dal pokracovat.
Predem diky

jardofpr · 04. 06. 2012 21:04

↑ aaoswego:

zrejme by stálo za to vyšetriť konvergenciu integrálov

$\int_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{x^p}$ a $\int_{1}^{\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^p}$

potom už by mala byť odpoveď blízko

aaoswego · 04. 06. 2012 21:34

Uz nejsem schopnej dneska poradne premyslet.. Ten druhej konverguje pro p>1. A u toho prvniho mi vychazi, ze konverguje pro p<1... Cimz by pak tahle uloha nemela reseni..

jardofpr · 04. 06. 2012 21:43

↑ aaoswego:

úloha samotná riešenie má, odpoveďou môže byť napríklad aj to,
že integrál nekonverguje pre žiadne $p,q$
tak je predsa postavená otázka

máš integrál z funkcie ktorá je kladná na $(0,\infty)$ a
pre každú kombináciu $p,q$ sa dá ohraničiť zdola
funkciou, ktorej integrál diverguje buď na $(0,1)$ alebo na
$(1,\infty)$

nájsť to ohraničenie už je najmenej

aaoswego · 04. 06. 2012 21:48

Tak jsem to mel na mysli, diky

aaoswego · 05. 06. 2012 10:00

Vlastne bych se rad jeste optal, jak by se to resilo v pripade, kdyz by ten puvodni integral byl pouze od jedne do nekonecna.

Rumburak

↑ aaoswego:

Rozložit původní integrál na součet

$\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{x^{p}+x^{q}} = \int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{p}+x^{q}} + \int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^{p}+x^{q}}$

a každý z dílčích integrálů vyšetřovat zvlášť, to je správná myšlenka . Ale nejprve vyřeš jednodušší případy, které dopručuje ↑ jardofpr: ,
budeš je potřebovat v dalším postupu.

aaoswego

Mel jsem na mysli tento integral pouze: $\int_{1}^{inf}\frac{dx}{x^{p}+x^{q}}$ .
Pouzil bych srovnani s 1/x, ze kteryho pak plyne $x<x^{p}+x^{q}$ , jenze tam uz nevim, jak dal pokracovat.
Predem diky

Rumburak · 05. 06. 2012 11:11

↑ aaoswego:

OK. A kdy tedy konverguje $\int_{1}^{\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^p}$ , zjistit umíšl ?

aaoswego · 05. 06. 2012 11:21

Pro p>1

Rumburak · 05. 06. 2012 11:37

Správně.

Odtud vyplývá, že když $p > 1$ , $0 \le f(x) \le \frac{1}{x^p}$ na $(1 , +\infty)$ a existuje-li integrál

(1) $\int_{1}^{\infty}f(x)\, \mathrm{d}x$ ,

potom
$0 \le \int_{1}^{\infty}f(x) \,\mathrm{d}x \le \int_{1}^{\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^p}$ ,

takže také integrál (1) je pak konvergentní. Nedalo by se to nějak aplikovat na funkci $f(x) = \frac{1}{x^p + x^q}$ ?

aaoswego · 05. 06. 2012 12:17

Ta podminka s nulou je splnena pro vsechny p,q.
Z ty druhy podminky vyplyva
$f(x) = \frac{1}{x^p + x^q}$ $\le$ $1/x^\varepsilon$
V druhym integralu jsem zmenil p na $\varepsilon$ , at v tom neni zmatek, tzn plati $\varepsilon >1$

Z toho plyne $x^{\varepsilon }\le x^p+x^q$ , jenze tady nevim jak pokracovat.

Cynyc · 05. 06. 2012 12:56 — Editoval Cynyc (05. 06. 2012 12:57)

↑ aaoswego: Možná by to pro tebe bylo jednodušší limitně. Pro která k bude $\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{x^p+x^q}$ konečná?

aaoswego · 05. 06. 2012 13:14

Pokud bude $k\le p, q$ ?
Jinak diky za trpelivost

Rumburak

↑ aaoswego:

Je to ještě jednodušší. Pro $x \in (1 , +\infty)$ je $x^p > 0$ $x^q > 0$ , takže $x^p +x^q > x^p > 0$ a tudíž

$0 < \frac{1}{x^p + x^q} < \frac{1}{x^p}$ .

Funkci $\frac{1}{x^p + x^q}$ jsme tak na intervalu $(1 , +\infty)$ odhadli SHORA majorantou $\frac{1}{x^p}$ .

ERGO: Koverguje-li $\int_{1}^{\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^p}$ , potom integrál $I(p,q) :=\int_{1}^{\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^p + x^q}$ ... ???...:-)