Matematické Fórum

jarrro · 09. 06. 2012 11:23

čaute asi blbá otázka, ale musí byť koreň polynómu s algebraickými koeficientami algebraické číslo?

OiBobik

↑ jarrro:

Ahoj, musí:

Nechť $K \leq T \leq F$ jsou tělesa, $a_0, a_1, \dots a_n \in T$ prvky algebraické nad $K$ a $\theta \in F$ je kořen polynomu $f=\sum_{k=0}^n a_k x^k \in T[x]$ . Pak $[K(a_0,a_1 \dots a_n,\theta):K]=[K(a_0,a_1 \dots a_n,\theta):K(a_0,a_1 \dots a_n)]\cdot[K(a_0,a_1 \dots a_n):K]$ .
Přitom $[K(a_0,a_1 \dots a_n,\theta):K(a_0,a_1 \dots a_n)] < \infty$ (jelikož $\theta$ je algebraický nad $K(a_0,a_1 \dots a_n)$ )
a $[K(a_0,a_1 \dots a_n):K]<\infty$ (prvky $a_0,a_1 \dots a_n$ jsou algebraické nad $K$ ).
Celkem tedy $K(a_0,a_1 \dots a_n,\theta)$ je rozšíření $K$ konečného stupně, tedy algebraické rozšíření.

Značení (nevím, nakolik je to, co používám, běžné, tak radši píšu):

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Využívá se:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

EDIT: všechna tělesa předpokládám komutativní

jarrro · 09. 06. 2012 12:17

díky a nejako analytickejšie by sa nedalo?

OiBobik

↑ jarrro:

No, tak to nevím. To bude takto obecně asi dost obtížné, bude-li to vůbec možné (tím myslím: nějak přímo z polynomů, které nulují jednotlivé koeficienty, vykřesat polynom, který nuluje kořen onoho polynomu s algebraickými koeficienty).

Nicméně (nevím, jestli jsi někdy tady ty pojmy už viděl, ale i kdyby ne, tak) ta použitá tvrzení nejsou moc hluboká a všechny ty důkazy najdeš třeba zde, zejména asi v kapitole 9.

jarrro · 09. 06. 2012 19:47

ďakujem dobré čítanie aj keď to potrebuje čas nie som až tak doma v algebre

Matematické Fórum

#1 09. 06. 2012 11:23

algebraická uzavretosť algebraických čísel

#2 09. 06. 2012 11:41 — Editoval OiBobik (09. 06. 2012 15:19)

Re: algebraická uzavretosť algebraických čísel

#3 09. 06. 2012 12:17

Re: algebraická uzavretosť algebraických čísel

#4 09. 06. 2012 13:02 — Editoval OiBobik (09. 06. 2012 13:53)

Re: algebraická uzavretosť algebraických čísel

#5 09. 06. 2012 19:47

Re: algebraická uzavretosť algebraických čísel

Zápatí