Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#26 13. 06. 2012 14:48 — Editoval vanok (13. 06. 2012 15:00)

vanok
Příspěvky: 14450
Reputace:   741 
 

Re: Rozviňte funkci do mocninné řady

↑↑ Rumburak:,
Pozdravujem, ano toto je trosicku ina cesta k rieseniu.
Pozriem to podrobne vecer.


Inac tu je tiez jedna odpoved v okoli nuly pre funkciu, co znacim F:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=1% … 28X%2B4%29

EDIT

↑↑ vanok:
pisal som :
Tak najprv poloz $X=x+1$ cize $ x=X-1$, a nahrad to v tvojej funkcii, co ti povoli pouzit rozvoj okolo nuly $F(X)$,( premenna je potom X) a po vypoctoch  nahrad vsade $X=x+1$ ( co da hladany rozvoj )
Tak zacnime:
$f(x) = \frac{x}{2x+6}$
ti da
$F(X)=\frac{X-1}{2(X+1)+6}= \frac {X-1}{2X+8}=\frac 12 \cdot \frac {X-1}{X+4}$


No vsak vidim ze som mal napisat:

$F(X)=\frac{X-1}{2(X-1)+6}= \frac {X-1}{2X+4}=\frac 12 \cdot \frac {X-1}{X+2}$
(spatne znamienko v povodnom vyraze )

Cize vypocty,co som navrhol boli robene na chybnom vyraze.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#27 13. 06. 2012 15:00 — Editoval OiBobik (13. 06. 2012 15:38)

OiBobik
Moderátor
Místo: Brno/Praha
Příspěvky: 1013
Škola: MFF UK Mat. struktury
Pozice: student
Reputace:   82 
 

Re: Rozviňte funkci do mocninné řady

↑↑ darkmagic:

Zdravím,
navrhl bych ještě alternativní postup, a sice pomocí rozvoje funkce do Taylorovy řady.

Pomocí úpravy $\frac{x}{2x+6}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\cdot (x+3)^{-1}$

se snadno (indukcí) odvodí, že
$f^{(n)}(x)=\frac{3}{2}(-1)^{n+1} \cdot n!\cdot(x+3)^{-(n+1)}$
tedy
$f^{(n)}(-1)=\frac{3}{2}(-1)^{n+1} \cdot n!\cdot(2)^{-(n+1)}=\frac{3}{2}(-1)^{n+1} \cdot n!\cdot\frac{1}{2^{n+1}}$

odtud dostáváme jediného kandidáta na rozvoj do řady

$-\frac{1}{4}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f^{(n)}(-1)}{n!}(x+1)^n=-\frac{1}{4}+\frac{3}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\(\frac{-1}{2}\)^{n+1}(x+1)^n$

- jediný kandidát je to z toho důvodu, že mocninné řady lze derivovat člen po členu.

tento přístup má ovšem jednu nevýhodu, a sice: není zaručeno, že opravdu zadaná funkce do mocninné řady rozvinout lze (existují i nekonečně diferencovatelné funkce, které nelze rozvinout do mocninné řady). Muselo by se tedy např. výslednou řadu opět sečíst a ukázat, že dostanu původní funkci, což mi ovšem připadá jako jednodušší úloha.

EDIT: Vidím, že během mého spisování už i Rumburak přidal nějaké alternativní řešení - pokud se vám zdá, že je tu toho už moc, tak se smažu. Alespoň jsem však ověřil Rumburakův výsledek.


"The first rule of Tautology Club is the first rule of Tautology Club." [xkcd]

Offline

 

#28 13. 06. 2012 15:27

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: Rozviňte funkci do mocninné řady

↑ OiBobik:
Ahoj,
děkuji Ti za ověření "mého" výsledku další metodou. :-) 
Když je ukázáno více metod, já osobně proti tomu vůbec nic nemám, naopak to považuji za užitečné a mnohdy i velmi zajímavé až fascinující - 
snad právě díky takovým možnostem mě matematika baví.

Offline

 

#29 13. 06. 2012 15:57 — Editoval darkmagic (13. 06. 2012 15:59)

darkmagic
Příspěvky: 156
Reputace:   
 

Re: Rozviňte funkci do mocninné řady

Snažil jsem se to udělat podle rad, co jsem zde dostal. Teď přijímám podněty k případným chybám :).
Vycházel jsem především z toho, co jsme řešili s ↑↑ vanok:.

Pro přehlednost:

Offline

 

#30 13. 06. 2012 16:41

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: Rozviňte funkci do mocninné řady

↑ darkmagic:

Jedinou chybu jsem objevil v závěru - v tom obecném vzorci pro součet zřejmě geom. řady  mělo být $a_0$ místo  $a_n$.

Offline

 

#31 13. 06. 2012 21:26

darkmagic
Příspěvky: 156
Reputace:   
 

Re: Rozviňte funkci do mocninné řady

↑ Rumburak:Dobrá, tak já Vám děkuji, bylo to sice dlouhé, ale snad i prosppěšné:-).

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson