Matematické Fórum

Azeret · 14. 06. 2012 20:51

Ahoj, nemůžu se dopočítat správného (spíše žádného) výsledku u tohoto příkladu:
Rozložte ve Fourierovu řadu následující funkci:
$\log|\sin(\frac{x}{2})|$ .

Nejprve jsem si funkci zapsala do tvaru
$\frac{1}{2}\log{\sin^2{(\frac{x}{2})}}$ , to jen pro jistotu, nikdy nevím co od absolutní hodnoty čekat.
Budu rozvíjet do trigonometrického systému, funkce je sudá, takže členy u sinů budou nulové. Zbývá spočítat
členy u cosinů, to by mělo jít standardním integrálem
$a_k =\frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} \frac{1}{2}\log{\sin^2{(\frac{x}{2})}} \cos(k x) \mathrm{d}x$ ,
ale po užití perpartes dostanu integrál, který diverguje (podle mathematici . . . ).

Nevím zdali na to jdu vůbec dobře, ale u jednodusíšch funkcí tenhle postup fungoval dobře . . .

Díky moc.

jelena · 14. 06. 2012 22:28

Zdravím,

s ohledem na to, co studuješ, tradičně nemám právo psát do vašich témat :-), tak jen nezávažný námět - když se podívám na periodu zadané funkce - nemají být meze jinak?

Děkuji, ať se podaří.

Azeret · 14. 06. 2012 22:50

↑ jelena:
jo já jsem koukala jsem
http://www.wolframalpha.com/input/?i=log(abs(sin(x/2)))
bezhlavě jsem opsala periodicita $2\pi$ .
A když je perioda $2\pi$ , tak by ty meze snad měli být dobře?
Navíc já studuju fyziku, takže myslím, že úplně každý mi může k matice něco říct a já si
z toho něco odnesu :)

jelena · 14. 06. 2012 23:32

↑ Azeret:

:-) nemohu ani k matematice, ani k fyzice. Víš, kde je z mého pohledu MFF UK? (neumím si představit ani to, že by mi snad dovolili umývat dveře v suterénu).

K problému:

a) periodicitu $2\pi$ bych použila jako $-\pi$ až $\pi$ a pro začátek bych řešila jen část bez absolutní hodnoty, tedy na intervalu $0$ až $\pi$ .

b) zde je potíž v $x=0$ (nastoupí integrál nevlastní) a ten Tobě vycházel, že diverguje?

Azeret · 15. 06. 2012 07:42

↑ jelena:
a) ok, to ještě vyzkouším, díky
b) no wolfram psal - integral does not converge, takze bud neexistuje nebo diverguje . . . ale zkusím to jeste s tou posunutou
periodou, uvidim . . .

jelena · 15. 06. 2012 11:02

Podívala jsem se do zdrojů - úloha je z "Demidoviče pro vyvolené" (rok 1978), další verze jsou pro techniky.

V Antidemidoviči je řešena tak - odkaz.

Teď otázka, zda to jde řešit i "standardní cestou" :-), snad někdo z kolegů. Děkuji.

Doplněno (15.06.2012, 21:05): já jsem věděla, že jsem to viděla - Fichtengolc, str. 456, cvičení 14.

Azeret · 16. 06. 2012 08:15

↑ jelena:
super! Díky moc, tak knížka je úplně perfektní, škoda jen, že neumím číst azbuku -
jediné štěstí je, že matiku píšou všude stejně :).

jelena · 16. 06. 2012 10:24

↑ Azeret:

:-) Také děkuji. Knížka je klasika ruských učebnic matematiky, má celkem 3 díly (zde je také). Například u nás zde (hodně dávno) jsme 3 díly dostali v 1. ročníku, ale některé věcí se braly až v odborných předmětech (potom učitel začal - "matematické předpoklady předmětu - Fichtengolc, kapitola... :-)

O knize se pochvalně vyjádřil i kolega Marian (to velmi potěšilo, myslím jen, že zobecnění limit je až ve 3. dílu).

Kdybys na něco narazila (drobnost, kterou je třeba přeložit), tak se ozvi.

Matematické Fórum

#1 14. 06. 2012 20:51

Rozvoj do Fourierovy řady

#2 14. 06. 2012 22:28

Re: Rozvoj do Fourierovy řady

#3 14. 06. 2012 22:50

Re: Rozvoj do Fourierovy řady

#4 14. 06. 2012 23:32

Re: Rozvoj do Fourierovy řady

#5 15. 06. 2012 07:42

Re: Rozvoj do Fourierovy řady

#6 15. 06. 2012 11:02

Re: Rozvoj do Fourierovy řady

#7 16. 06. 2012 08:15

Re: Rozvoj do Fourierovy řady

#8 16. 06. 2012 10:24

Re: Rozvoj do Fourierovy řady

Zápatí