Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Dobrý den,
mam problém s triviálnim příkladem na výpočet těžiště, mam pomocí integrálu vypočíat těžiště jednotkového půlkruhu...
Základní vzorce mam z více zdrojů, ale na žádném se mi neshodují, tak abych je mohl použít a byl si jist že je to správně,
tudíž by to mělo být:
Vzorce co nám nadiktovali učitelé jsou:
Meze pro půlkruh jsou dle mého od 0 do r
za y se dosadí
ale co za se má dosadit a za X mi nějak nevyplývá
Nebo se to má počítat podle jiných vzorců??
Předem moc děkuji
Offline
Zdravím,
pomocí integrálu nevím (jsem v prváku na střední), ale napadá mě řešení (podle mě jednodušší) a jde to používat i pro více ploch, než jen půlkruh. - Pappovy věty, určitě platí, když plochu "posunujeme" po kolmici. Bude ale oběm vytvořeného tělesa rotací plochy kolem osy roven součinu obsahu plochy a vzdálenosti, kterou urazí hmotný střed plochy? Asi ano, vzdálenější strana se posune vic a bližší méně...
Nechám teda půlkruh rotovat kolem "průměru kružnice" a vznikne koule, vzdálenost těžiště půlkruhu od "středu kružnice" označím x.
Offline
↑ zdenekm31:
Ahoj. Místo takovýchto speciálních vzorců je podle mne lepší pamatovat si obecnou rovnici
(1)
charakterisující těžiště fyzikálního tělesa , tj. bodové množiny, v níž je rozprostřena hmota o hustotě v bodě .
Úpravou rovnice (1) pak obdržíme
(2) ,
kde je hmotnost tělesa . Z (2) pak smadno plyne
(3) .
Když je oblastí v , což je asi nejobvyklejší případ, pak je objemovou hustotou a v (1) - a tedy i v (2), (3) - je
,
při čemž jde o trojrozměrné integrály, v nichž integrandem je trojrozměrná funkce, takže např. (1) se rozepíše po souřadnicích vektoru
do třech rovnic
, , ,
čemuž bude odpovídat i tvar výpočtu (2) a jeho výsledku (3).
Analogicky by se postupovalo
- u rovinných obrazců ( by byla plošnou hustotou , integrály dvourozměrné z dvourozměrných funkcí) ,
- u obrazců na plochách v prostoru ( by byla plošnou hustotou , integrály plošné 1. druhu z trojrozměrných funkcí) ,
- u rovinných či prostorových křivek (když by se hledalo např. těžiště spirály) - jak v této situaci interpretovat a (1), (2) , (3) ,
si jistě už budeš umět sám doplnit.
Offline
↑ zdenekm31:
Nešlo mi o to dávat návod na trojné integrály, ale snažil jsem se reagovat na podněty
zdenekm31 napsal(a):
...
Základní vzorce mam z více zdrojů, ale na žádném se mi neshodují, tak abych je mohl použít a byl si jist že je to správně,
...
ale co za se má dosadit a za X mi nějak nevyplývá
Nebo se to má počítat podle jiných vzorců??
...
Takže se podívejme na půlkruh o poloměru .
Plošnou hustotu bývá zvykem značit , takže podle toho, co jsem napsal předešle, bude
a podobně pro souřadnice těžiště
,
.
Dál se ale nedostaneme, dokud nebudeme mít podrobnou znalost funkce . Váš učitel patrně vyšel z nějakých dílčích znalostí o této funkci
a dostal se ve výpočtu o něco dál - k jednorozměrným integrálům, které vám nadiktoval - s tím, že je dopočítáte. Proto jsi patrně nanašel shodu
"s jinými zdroji".
Abych mohl posoudit, zda vzorce, které uvádíš, jsou správně, musel bych o funkci vědět to, co váš učitel. Prozatím se mi to nezdá už kvůli těm
mezím a, b v integrálech. Jak souvisejí s půlkruhem ? Každopádně i je stále ještě příliš obecné, než aby bylo možno "Tvé" integrály spočítat.
Doporučuji zkontrolovat správnost zadání, například i to, zda má jít skutečně o půlkruh a ne třeba o oblouk kružnice a pod.
Offline
No tyto vzorce na těžiště nám byli nadiktovány a následně sme pomocí nich počítali těžiště u jiné oblasti. Jiné nám neuváděli na výpočet těžiště, tudíž sem předpokldal, jak vidím mylně, že těmi vzorce jdou spočítat všechna těžiště.
Jedná se stoprocentně o výpočet těžiště půlkruhu.
Offline
Můžeme ještě probrat speciální případ, kdy celý půlkruh je zhotoven z homogenního materiálu, takže ve všech jeho bodech je
. Potom tuto konstantu můžeme vytknout z integrálů a dostaneme
, kde poslední integrál je roven obsahu půlkruhu,
(integrujeme lichou funkci),
, což dopočítat není těžké.
Ze vzorců, které uvádíš, i ten budí nedůvěru, protože výraz vpravo závisí na y-ové souřadnici,
tudíž to nemůže být hmotnost půlkruhu, kterou pro výpočet těžiště potřebujeme. Ony vzorce tedy mají jiný význam, než jaký
očekáváme, v tom bude ten zakopaný pes. Zkus toto přesně zjisti, tedy jaký význam mají meze integrálů, výrazy v integrandech
a integrační proměnné a co mají znamenat čísla S(x), S(y) a m.
Offline