Matematické Fórum

V prvním případě znám sice výšku kužele, ale jen z toho nemůžu vypočítat povrch. Vím, že počítám jen poměr, ale nevím jak se k tomu poměru dohrabat.
A v druhém případě znám tělesovou úhlopříčku kvádru, ale nevím, jak vypočítat ty hrany jen pomocí poměrů obsahů.

Omlouvám se, zaregistrovala jsem se nedávno a pravidla jsem ještě nepřečetla. Už jsem poučená.

Druhý příklad jsem vypočítala už bez problému. Moc děkuji za pomoc. A v prvním příkladě jsem už měla nakreslený trojúhelník s vepsanou kružnicí, chápu, že si jsou ty dva trojúhelníky podobné, chápu, že výška špičky jsou 4 poloměry kružnice, ale pořád nechápu, jak se mám dostat k tomu poměru.

↑ kolop:

Zdravím,

tato úloha je již v tématu naznačena, ale jen schematicky 

1) pokud zakreslíš řez kuželu, máš rovnoramenný trojúhelník, do kterého je vepsána kružnice. Zakreslí příčku rovnoběžně základně trojúhelníku a procházející "horním bodem kružnice". Špíčka je trojúhelník, který je podobný trojúhelníku v řezu. Jeho výška je 4 poloměry kružnice. je jasné proč?

Povrch koule máme vyjádřený přes r koule. Potřebujeme vyjádřit přes r také povrch kuželu.

Pokud v trojúhelníku v řezu sestrojím kolmici ze středu kružnice na rameno trojúhelníku (patu kolmice označím T), potom v pravoúhlém trojúhelníku SVT máme délku |ST|=r, |SV|=5r.

Můžeme tedy vyjádřit sin(TVS)=r/5r, odsud můžeme odvodit další goniometrické funkce úhlu (nebudeme počítat, ale odvozovat). Druhá možnost je určení délky TV přes Pythagorovu větu.

V trojúhelníku AXV (AX je polovina strany AB základny řezu, zároveň je to poloměr podstavy kuželu) XV výška kuželu, proto |XV|=6r).

Zde využijeme podobnost trojúhelníku AXV a STV pro určení zbývajících rozměrů, co potřebujeme (poloměr podstavy kuželu a délku boční strany).

Obrázek si vypůjčím od kolegy Cheopa z tématu - viz Obrázek Pro řešení využíváme trojúhelník s oranžovou základnou (jeho výška je ) a trojúhelník s modrou základnou. Trojúhelníky jsou si podobny. Nakresli si obrázek a zkus, prosím, odvodit vztahy, jak je popsáno. Ozvi se, jak to šlo. Děkuji.

↑ kolop:

to je trošku problém - úloha není úplně snadná, pokud se v látce moc neorientuješ. Máš propočteno více úloh? Jelikož potřebuješ:

a) mít představu obrázku pro zadanou situaci "kouli je opsán kužel" v prostoru,
b)"přetvořit" tento obrázek do roviny řezu (na obrázku vidíme rovnoramenný trojúhelník, který vznikne řezem kuželu rovinou kolmou podstavě a procházející hlavní osou kuželu. Do trojúhelníku je vepsán kruh, který vznikne v řezu koule),
c) vyznačit zadané údaje,
d) úloha požaduje poměr povrchů, proto vypsat vzorce pro povrchy koule a kuželu,
e) vyznačit, co ve vzorcích víme a co je třeba odvodit ze zadání.

Tak dojdeš k závěru, že vzorec pro objem koule můžeš použit tak, jak je z tabulek. Ale ve vzorci pro povrch kuželu musíš vyjadřovat jak výšku, tak poloměr podstavy, tak boční stěnu přes poloměr koule.

Více - to už bych musela vyřešit úlohu celou, tak to není správné - váš učitel musí vědět, co dokážete samostatně, popřípadě s nějakou nápovědou. Ať se podaří s úlohou pokročit.

Edit: úloha požaduje poměr povrchů - opraveno.

↑ kolop: tak alespoň napůl :-) Ty uděláš obrázek, vyznačíš všechno, co je zadáno a napíšeš poměr povrchů. Já odvodím poloměr podstavy kuželu.  Ale až zítra. Vděčni si budeme.

↑ kolop: dobře, jen si ještě, prosím všimni mého editu v příspěvcích - úloha požaduje poměr povrchů (ne objemů, jak jsem psala), ale postup a dělba práce jsou stejné :-), jen vzorce budou pro povrch, ne pro objem.

↑ kolop:

Poriadne si prečítaj odporúčaný postup.

Máš obrázok podľa návodu?

(Existuje ale aj postup bez sinusu a podobnosti...)

↑ kolop:

Veď ti to jelena popisuje.

Ja by som použila postup cez obsah trojuholníkov.

↑ kolop:

Zdravím, číselně jsem dopočetla, abych porovnala s Tvým výsledkem (ale místo 993 mám cca 1017, nejspíš jsi "více" zaokrouhloval), lepší však zapisovat konečné vyjádření povrchů tak, jak vyšlo z odvození.
Povrch koule je vzorec z tabulek , povrch kuželu mi vyšel po úpravě , poměr povrchů nezávisí na konkrétní hodnotě koule. Pokud ještě potřebuješ kontrolu, tak rozepiš, prosím, odvození pro rozměry kuželu.

↑ kolop:

No - rátala by som cez obsahy.

Označíme polomer kužeľa R.

Potom platí, že obsah polovice prierezového trojuholníka je



Ten istý trojuholník má obsah (spojíš stred kružnice s 1 vrcholom základne)

Z rovnosti obsahov .

Z Pytagorovej vety

Preto

Potom už hľadaný pomer povrchov (guľa:kužeľ)



Teda:



Ale dá sa postupovať aj ináč.

Pani moderátorka ako vždy iste pozná lepší postup...

Narysoval sem osu X y označil na ní výšku Teda 36cm udělal sem kružnici o poloměru 6cm a spojil vrchol s hranou kružnice a na ose X mi vyšlo 7,2 poté sem podle Pythagorovy věty dopocital s což vyšlo 36,71 cm
A pak už jen dosadil koule S=4*pí*r
Kužel S pí*r (r+s) a poměr jsem měl už jen podle výsledků protože nevím jak poměr vypočítat hledal sem na internetu ale nic sem nenašel