Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 16. 06. 2012 12:07

MonikaP
Zelenáč
Příspěvky: 5
Reputace:   
 

Povrchy těles

Dobrý den, chtěla bych poprosit o radu se dvěma příklady.

1. Kouli je opsán rotační kužel, jehož výška se rovná šestinásobku poloměru koule r=6cm. V jakém poměru jsou povrchy obou těles?

2. Určete délky hran kvádru vepsaného do koule o poloměru r=7cm, jestliže poměr plošných obsahů jeho stěn je 1:2:3.

Předem děkuji za jakoukoli pomoc. Zkoušela jsem počítat a měla jsem v tom nějaké nejasnosti a výpočty mi nevycházeli.

Offline

 

#2 16. 06. 2012 12:12 — Editoval Miky4 (16. 06. 2012 12:12)

Miky4
Místo: Ostrava!!!
Příspěvky: 676
Reputace:   30 
 

Re: Povrchy těles

↑ MonikaP:
Dobrý den, napiš, jak jsi to zkoušela počítat, jaké si měla nejasnosti a co ti (ne)vycházelo.

Offline

 

#3 16. 06. 2012 12:18

MonikaP
Zelenáč
Příspěvky: 5
Reputace:   
 

Re: Povrchy těles

V prvním případě znám sice výšku kužele, ale jen z toho nemůžu vypočítat povrch. Vím, že počítám jen poměr, ale nevím jak se k tomu poměru dohrabat.
A v druhém případě znám tělesovou úhlopříčku kvádru, ale nevím, jak vypočítat ty hrany jen pomocí poměrů obsahů.

Offline

 

#4 16. 06. 2012 19:59

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 30020
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   100 
 

Re: Povrchy těles

↑ MonikaP:

Zdravím,

je lepší dávat do tématu jen jednu úlohu a rovnou napsat svůj postup - pravidla.

1) pokud zakreslíš řez kuželu, máš rovnoramenný trojúhelník, do kterého je vepsána kružnice. Zakreslí příčku rovnoběžně základně trojúhelníku a procházející "horním bodem kružnice". Špíška je trojúhelník, který je podobný trojúhelníku v řezu. Jeho výška je 4 poloměry kružnice. je jasné proč?

2) můžeš označit ab:bc:ac=1:2:3=x a odsud po dvojicích pokračovat s vyjádřením jednotlivých stran a, b, c.
Z faktu, že kvádr je vepsán do koule máš vyjádření tělesové uhlopříčky (průměr koule) přes a, b, c.
Měla bys mít rovnici s jednou neznámou x.

Podaří se pokračovat? Děkuji.

Offline

 

#5 17. 06. 2012 14:39 — Editoval MonikaP (17. 06. 2012 14:47)

MonikaP
Zelenáč
Příspěvky: 5
Reputace:   
 

Re: Povrchy těles

Omlouvám se, zaregistrovala jsem se nedávno a pravidla jsem ještě nepřečetla. Už jsem poučená.

Druhý příklad jsem vypočítala už bez problému. Moc děkuji za pomoc. A v prvním příkladě jsem už měla nakreslený trojúhelník s vepsanou kružnicí, chápu, že si jsou ty dva trojúhelníky podobné, chápu, že výška špičky jsou 4 poloměry kružnice, ale pořád nechápu, jak se mám dostat k tomu poměru.

Offline

 

#6 17. 06. 2012 15:38

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 30020
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   100 
 

Re: Povrchy těles

↑ MonikaP:

to je v pořádku :-)

Povrch koule máme vyjádřený přes r koule. Potřebujeme vyjádřit přes r také povrch kuželu.

Pokud v trojúhelníku v řezu sestrojím kolmici ze středu kružnice na rameno trojúhelníku (patu kolmice označím T), potom v pravoúhlém trojúhelníku SVT máme délku |ST|=r, |SV|=5r.

Můžeme tedy vyjádřit sin(TVS)=r/5r, odsud můžeme odvodit další goniometrické funkce úhlu (nebudeme počítat, ale odvozovat). Druhá možnost je určení délky TV přes Pythagorovu větu.

V trojúhelníku AXV (AX je polovina strany AB základny řezu, zároveň je to poloměr podstavy kuželu) XV výška kuželu, proto |XV|=6r).

Zde využijeme podobnost trojúhelníku AXV a STV pro určení zbývajících rozměrů, co potřebujeme (poloměr podstavy kuželu a délku boční strany).

Offline

 

#7 18. 12. 2015 20:57 Příspěvek uživatele kolop byl skryt uživatelem kolop.

#8 18. 12. 2015 20:58

kolop
Zelenáč
Příspěvky: 14
Škola: střední zemědělská škola benešov
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Povrchy těles

kouli je opsán rotační kužel,jehož výška se rovná šestinásobku poloměru koule r=6cm.V jakém poměru jsou povrchy obou těles?
potřeboval bych to prosím vypočítat probíráme to ve stereometrii nějakým postupem abych to pochopil matematika mi moc nejde děkuji

Offline

 

#9 18. 12. 2015 21:35

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 30020
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   100 
 

Re: Povrchy těles

↑ kolop:

Zdravím,

tato úloha je již v tématu naznačena, ale jen schematicky 

1) pokud zakreslíš řez kuželu, máš rovnoramenný trojúhelník, do kterého je vepsána kružnice. Zakreslí příčku rovnoběžně základně trojúhelníku a procházející "horním bodem kružnice". Špíčka je trojúhelník, který je podobný trojúhelníku v řezu. Jeho výška je 4 poloměry kružnice. je jasné proč?

Povrch koule máme vyjádřený přes r koule. Potřebujeme vyjádřit přes r také povrch kuželu.

Pokud v trojúhelníku v řezu sestrojím kolmici ze středu kružnice na rameno trojúhelníku (patu kolmice označím T), potom v pravoúhlém trojúhelníku SVT máme délku |ST|=r, |SV|=5r.

Můžeme tedy vyjádřit sin(TVS)=r/5r, odsud můžeme odvodit další goniometrické funkce úhlu (nebudeme počítat, ale odvozovat). Druhá možnost je určení délky TV přes Pythagorovu větu.

V trojúhelníku AXV (AX je polovina strany AB základny řezu, zároveň je to poloměr podstavy kuželu) XV výška kuželu, proto |XV|=6r).

Zde využijeme podobnost trojúhelníku AXV a STV pro určení zbývajících rozměrů, co potřebujeme (poloměr podstavy kuželu a délku boční strany).

Obrázek si vypůjčím od kolegy Cheopa z tématu - viz Obrázek Pro řešení využíváme trojúhelník s oranžovou základnou (jeho výška je $4r$) a trojúhelník s modrou základnou. Trojúhelníky jsou si podobny. Nakresli si obrázek a zkus, prosím, odvodit vztahy, jak je popsáno. Ozvi se, jak to šlo. Děkuji.

Offline

 

#10 18. 12. 2015 21:59

kolop
Zelenáč
Příspěvky: 14
Škola: střední zemědělská škola benešov
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Povrchy těles

dobrý den moc se omlouvám ale nemám ani tušení jak  to vypočítat probíráme ted stereometrii a nemám ani ponětí jak na to nešlo by to prosím vysvětlit jako pro blbce :)

Offline

 

#11 18. 12. 2015 22:59 — Editoval jelena (19. 12. 2015 09:26)

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 30020
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   100 
 

Re: Povrchy těles

↑ kolop:

to je trošku problém - úloha není úplně snadná, pokud se v látce moc neorientuješ. Máš propočteno více úloh? Jelikož potřebuješ:

a) mít představu obrázku pro zadanou situaci "kouli je opsán kužel" v prostoru,
b)"přetvořit" tento obrázek do roviny řezu (na obrázku vidíme rovnoramenný trojúhelník, který vznikne řezem kuželu rovinou kolmou podstavě a procházející hlavní osou kuželu. Do trojúhelníku je vepsán kruh, který vznikne v řezu koule),
c) vyznačit zadané údaje,
d) úloha požaduje poměr povrchů, proto vypsat vzorce pro povrchy koule a kuželu,
e) vyznačit, co ve vzorcích víme a co je třeba odvodit ze zadání.

Tak dojdeš k závěru, že vzorec pro objem koule můžeš použit tak, jak je z tabulek. Ale ve vzorci pro povrch kuželu musíš vyjadřovat jak výšku, tak poloměr podstavy, tak boční stěnu přes poloměr koule.

Více - to už bych musela vyřešit úlohu celou, tak to není správné - váš učitel musí vědět, co dokážete samostatně, popřípadě s nějakou nápovědou. Ať se podaří s úlohou pokročit.

Edit: úloha požaduje poměr povrchů - opraveno.

Offline

 

#12 18. 12. 2015 23:06

kolop
Zelenáč
Příspěvky: 14
Škola: střední zemědělská škola benešov
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Povrchy těles

opravdu by ste to nemohla vypočítat moc prosím :( byl bych vám moc vděčný :)

Offline

 

#13 18. 12. 2015 23:56 — Editoval jelena (19. 12. 2015 09:26)

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 30020
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   100 
 

Re: Povrchy těles

↑ kolop: tak alespoň napůl :-) Ty uděláš obrázek, vyznačíš všechno, co je zadáno a napíšeš poměr povrchů. Já odvodím poloměr podstavy kuželu.  Ale až zítra. Vděčni si budeme.

Offline

 

#14 19. 12. 2015 00:20

kolop
Zelenáč
Příspěvky: 14
Škola: střední zemědělská škola benešov
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Povrchy těles

Dobře děkuji :)

Offline

 

#15 19. 12. 2015 09:28

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 30020
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   100 
 

Re: Povrchy těles

↑ kolop: dobře, jen si ještě, prosím všimni mého editu v příspěvcích - úloha požaduje poměr povrchů (ne objemů, jak jsem psala), ale postup a dělba práce jsou stejné :-), jen vzorce budou pro povrch, ne pro objem.

Offline

 

#16 30. 12. 2015 01:21

kolop
Zelenáč
Příspěvky: 14
Škola: střední zemědělská škola benešov
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Povrchy těles

Co dosadim do Pythagorovy věty znám jenom R=6cm a výšku sestinasobek poloměru r=6cm takže v=36cm ale to mi pak nevychází? [/hide]

Offline

 

#17 30. 12. 2015 02:26 — Editoval misaH (30. 12. 2015 02:27)

misaH
Příspěvky: 13459
 

Re: Povrchy těles

↑ kolop:

Poriadne si prečítaj odporúčaný postup.

Máš obrázok podľa návodu?

(Existuje ale aj postup bez sinusu a podobnosti...)

Offline

 

#18 30. 12. 2015 13:15

kolop
Zelenáč
Příspěvky: 14
Škola: střední zemědělská škola benešov
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Povrchy těles

Už vím jak na to ale potřeboval bych vědět jak zjistím poloměr podstavy kužele když znám akorát výšku a ta je 36cm a že kouli je opsan rotační kužel a poloměr té Koule je 6cm
Ale jak zjistím poloměr podstavy kužele? Děkuji

Offline

 

#19 30. 12. 2015 14:02 — Editoval misaH (30. 12. 2015 14:04)

misaH
Příspěvky: 13459
 

Re: Povrchy těles

↑ kolop:

Veď ti to jelena popisuje.

Ja by som použila postup cez obsah trojuholníkov.

Offline

 

#20 30. 12. 2015 15:56

kolop
Zelenáč
Příspěvky: 14
Škola: střední zemědělská škola benešov
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Povrchy těles

Už myslím že my to vyšlo jsou poměry 4:9  povrchy 452.4cm a 993 cm?
Koule   a kužel

Offline

 

#21 31. 12. 2015 00:38

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 30020
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   100 
 

Re: Povrchy těles

↑ kolop:

Zdravím, číselně jsem dopočetla, abych porovnala s Tvým výsledkem (ale místo 993 mám cca 1017, nejspíš jsi "více" zaokrouhloval), lepší však zapisovat konečné vyjádření povrchů tak, jak vyšlo z odvození.
Povrch koule je vzorec z tabulek $S_1=4\pi r^2$, povrch kuželu mi vyšel po úpravě $S_2=9\pi r^2$, poměr povrchů nezávisí na konkrétní hodnotě $r$ koule. Pokud ještě potřebuješ kontrolu, tak rozepiš, prosím, odvození pro rozměry kuželu.

Offline

 

#22 07. 01. 2016 09:35

kolop
Zelenáč
Příspěvky: 14
Škola: střední zemědělská škola benešov
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Povrchy těles

Já sem r kužele vypočítal přes osu X y ale to mi neuznala jak vypocitam r kužele znamli jen výšku 36cm? Děkuji

Offline

 

#23 07. 01. 2016 10:48 — Editoval misaH (07. 01. 2016 11:13)

misaH
Příspěvky: 13459
 

Re: Povrchy těles

↑ kolop:

No - rátala by som cez obsahy.

Označíme polomer kužeľa R.

Potom platí, že obsah polovice prierezového trojuholníka je

$\frac {R\cdot 36}{2} $

Ten istý trojuholník má obsah $\frac {s\cdot 6}{2}+\frac {R\cdot 6}{2} $ (spojíš stred kružnice s 1 vrcholom základne)

Z rovnosti obsahov $s=5R $.

Z Pytagorovej vety $25R^2=R^2+36^2$

Preto $R^2=54$

Potom už hľadaný pomer povrchov (guľa:kužeľ)

$\frac {4\pi\cdot 36}{\pi\cdot R^2+\pi\cdot Rs}=\frac {4\pi\cdot 36}{\pi\cdot R^2+\pi\cdot 5R^2} $

Teda:

$\frac {4\pi\cdot 36}{6\pi\cdot 54}=\color {red}\frac49=4:9$

Ale dá sa postupovať aj ináč.

Pani moderátorka ako vždy iste pozná lepší postup...

Offline

 

#24 07. 01. 2016 12:09

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 30020
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   100 
 

Re: Povrchy těles

Zdravím,

↑ kolop: napiš, prosím, podrobně celý Tvůj postup, ať je jasné, proč paní učitelka neuznala a co by šlo opravit, abys úlohu úspěšně dokončil. Děkuji.

Offline

 

#25 07. 01. 2016 17:01

kolop
Zelenáč
Příspěvky: 14
Škola: střední zemědělská škola benešov
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Povrchy těles

Narysoval sem osu X y označil na ní výšku Teda 36cm udělal sem kružnici o poloměru 6cm a spojil vrchol s hranou kružnice a na ose X mi vyšlo 7,2 poté sem podle Pythagorovy věty dopocital s což vyšlo 36,71 cm
A pak už jen dosadil koule S=4*pí*r
Kužel S pí*r (r+s) a poměr jsem měl už jen podle výsledků protože nevím jak poměr vypočítat hledal sem na internetu ale nic sem nenašel

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson