Matematické Fórum

user · 16. 06. 2012 15:07

Ahoj, potřeboval bych osvětlit důkaz tohoto vztahu
$(\frac{\partial y}{\partial z})_{x}(\frac{\partial z}{\partial x})_{y}(\frac{\partial x}{\partial y})_{z}=-1$

Našel jsem toto, vyplývá to ze vztahu (17), ale stejně mi není jasné proč je tam znaménko -.

Děkuji

pietro · 16. 06. 2012 15:41

↑ user: Ahoj, ešte dopĺňam aj napr.

http://en.wikipedia.org/wiki/Triple_product_rule

skoroakvarista · 16. 06. 2012 15:44

↑ user:
Zdravím, pomůže tohle?

Nechť jsou na okolí bodu $\vec{\lambda}=(x_0,y_0,z_0)$ zadány funkce $x(y,z)$ , resp. $y(x,z)$ , resp. $z(x,y)$ implicitně vztahem $F(x,y,z)=0$ .
Pokud na rovnici $F(x,y,z)=0$ budeme nahlížet jako na rovnici zadávající funkci $x(y,z)$ , pak $\frac{\partial x}{\partial y}(y_0,z_0)=-\frac{\frac{\partial F}{\partial y}(\vec{\lambda})}{\frac{\partial F}{\partial x}(\vec{\lambda})}$ .
Pokud na rovnici $F(x,y,z)=0$ budeme nahlížet jako na rovnici zadávající funkci $y(x,z)$ , pak $\frac{\partial y}{\partial z}(x_0,z_0)=-\frac{\frac{\partial F}{\partial z}(\vec{\lambda})}{\frac{\partial F}{\partial y}(\vec{\lambda})}$ .
Pokud na rovnici $F(x,y,z)=0$ budeme nahlížet jako na rovnici zadávající funkci $z(x,y)$ , pak $\frac{\partial z}{\partial x}(x_0,y_0)=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}(\vec{\lambda})}{\frac{\partial F}{\partial z}(\vec{\lambda})}$ .
Potom platí rovnost $\frac{\partial x}{\partial y}(y_0,z_0)\cdot\frac{\partial y}{\partial z}(x_0,z_0)\cdot\frac{\partial z}{\partial x}(x_0,y_0)=-1$ - stačí dosadit za příslušné derivace.