Matematické Fórum

LRJ1 · 24. 06. 2012 18:22

Zdravím a prosím o pomoc s řešením tohoto příkladu. Mám zadanou funkci: $f(x,y)=x^2-y^2$ , dále $M: x\ge -y^2-1 , x\le 1 , -1\le y\le 1$ Mám zjistit Absolutní extrémy a jestli je v bodě $[0,0]$ lokální extrém. Vím, jak se počítá nějaká funkce na množině, ale nevím, jestli to má něco společného s tímto příkladem.

jelena · 24. 06. 2012 19:08

Zdravím,

má společné - vyšetřuješ extrém funkce (nejdřív bez podmínek množiny), jeden podezřelý bod již máš, jen ho je třeba ověřit. Pro jistotu ještě ověř, zda je tento podezřelý bod jediný jediný.

Pokračuješ ověřováním na hranici množiny a dokončíš kontrolou hodnot ve všech průsečících. Viz odkaz (poslední vzorový příklad) + univerzální návod kolegy Kondra.

Stačí ta na úvod? Děkuji.

LRJ1 · 24. 06. 2012 20:15

↑ jelena: Moudrý z toho zrovna nejsem. Potřeboval bych, postup, co mám dělat. Udělám nejdříve derivace té zadané funkce podle x a podle y. $F'_{x}=\frac{\partial f}{\partial x}=2x$ $F'_{y}=\frac{\partial f}{\partial y}=-2y$ A co následuje? Děkuji mnohokrát.

jelena · 24. 06. 2012 20:52

↑ LRJ1:

to je tak standardní úloha - v materiálech, co jsem odkázala (studijní text) je algoritmus pro vyšetření globálních extrémů (poznámka 5.19), on navazuje na algoritmus nalezení lokálních extrémů (str. 18 pdf). Ve své úloze jen spojíš, co všechno umíš:

začal jsi vyšetřením lokálního extrému (máš parciální derivace, položit =0, bod podezřelý u extrému, ověřit, zda je opravdu extrém přes 2. derivace)

pokračuješ vyšetřením na vazbě - to jsi dělal před časem - každou podmínky vyšetřuješ samostatně.

zakončíš kontrolou hodnot funkcí ve všech nalezených bodech, včetně průsečíků vazeb a vybereš to, co je absolutní.

Představuješ si prakticky, co vlastně děláš (zde kolega Ondřej znázornil :-)?

LRJ1 · 25. 06. 2012 07:47

↑ jelena: Pro nějaký trojúhelník by se to asi dalo podle toho návodu, ale co s tímto:? Jinak bych měl asi toto: Ty dvě derivace, co mám výše položím rovno nule: $f'_x=2x=0$ $f'_y=-2y=0$ řešením je jeden bod $A_1=[0,0]$ Dále udělám druhé derivace a dosadím do matice: $f''_{xx}=2$ $f''_{xy}=f''_{yx}=0$ $f''_{yy}=-2$ . Matici zde neumím zadat. Determinant D2 vyšel: $D_2=-4$ $-4<0$ , proto v bodě $[0,0]$ není extrém. Jak teď prozkoumat hranici množiny?

jelena · 25. 06. 2012 08:03

Děkuji, zkontroluj si, prosím, ještě zadání - je odsud? Potom je třeba opravit druhou podmínku pro x.
a podrobně řešil kolega Rumburak.

Upřesní, prosím.

LRJ1 · 25. 06. 2012 08:09

↑ jelena: Je to podobné, ale zadání mám správně. Tato písemka od pana doktora je z roku 2008 a tuto sobotu zadal to, co mám výše. Dáva podobné příklady, nikoli stejné.

jelena · 25. 06. 2012 08:21

Tak dobře :-) Potom nemáš správně zakreslenou parabolu - je orientována po ose x (ležatá).

LRJ1 · 25. 06. 2012 10:09

↑ jelena: Ano, máš pravdu. Když to opravím, tak jak dál pokračovat? Jaká je hranice množiny?

jelena · 25. 06. 2012 12:06

↑ LRJ1:

Hranice množiny najdeš v podmínkách - pokud z nerovnic vyrobíš rovnice. Také vrcholy hranic stanovíš tak, že najdeš početně řešení soustav rovnic a tak určíš průsečíky hranic.

Máš obrácenou situaci oproti trojúhelníku - tam jsi měl zadány body, ze kterých jsi tvořil předpisy přímek, teď naopak - předpisy přímek a křivek již máš a hledáš společné body hranic.

Ono ani to zakreslení není příliš nutné. Ověřit, zda bod (0, 0), což je bod podezřelý z lokálního extrému (a chceme vědět, zda do oblasti patří), se dá i tak, že ho postupně dosadíš do každé nerovnice z podmínek - pokud splňuje všechno, tak patří do vnitřní oblasti.

Už se podaří?

LRJ1 · 25. 06. 2012 12:17

↑ jelena: Takže z toho $x\le 1$ udělám $x=1$ a dosadím do $x\ge -y^2-1$ , z toho výjde $1=-y^2-1$ $y^2=-2$ $y=\pm \sqrt{2}$ . Mám to dobře? Takže jeden bod bude $A_1=[1,+\sqrt{2}]$ a druhý $A_2=[1,-\sqrt{2}]$ . Ale v tomto případě y nesplňuje podmínku $-1\le y\le 1$ . Vůbec si nevím rady.

jelena · 25. 06. 2012 12:27

↑ LRJ1:

ach jo. Ty už jsi unaven a přetažen - kolik je ještě pokusů písemky?

Ano uděláš rovnice a dosazuješ, ale rovnice $y^2=-2$ nemá řešení v R. Tedy přímka x=1 a parabola společné body nemá (na obrázku máš takový obdélník, nalevo vykrojená parabola, průsečíky jsou jen s y=1, y=-1. Napravo určíš průsečíky rovnou (bod je na průsečíku x=1, y=1, to je rovnou souřadnice bodu) atd.

LRJ1 · 25. 06. 2012 12:58

↑ jelena: Poslední pokus, ale nevím kdy. Už mi z toho všeho nějak hrabe. Děkuji za pomoc.

jelena · 25. 06. 2012 23:39

↑ LRJ1:

děkuji za upřesnění. To je škoda, jelikož se tomu věnuješ už delší dobu a pořádně (navíc při práci).
Když se podívám na skladbu úloh, tak kreativitu vyžaduje "řada", "limita" a "integrujte". Ostatní úlohy jako "extrémy" (lokální, s vazbou, globální), "tečné roviny", "dif. rovnice" se dají nastandardizovat a osvojit si algoritmus tak, aby člověk nepřemyšlel alespoň nad postupem a více se věnovat technice a pozornosti při výpočtu.

V této 2. skupině máte spíš úlohy náročné hlavně na pozornost a pořádek při zápisu, protože jsou dost obsáhlé. Jinak bych si vypsala u typů standardizačních úloh sled bodů, co musím splnit. A při praktickém výpočtu bych si poznačila, u čeho se nejvíce zdržuji. Tak bych k tomu přistupovala.

Ať se podaří.

LRJ1 · 27. 06. 2012 11:31

↑ jelena: To je sice pěkné, že se tomu věnuji, ale výsledky se nedostavují. Ještě k tomu příkladu, jak tedy pokračovat? Kde vezmu další body k prozkoumání?

jelena · 27. 06. 2012 12:38

↑ LRJ1:

Třeba standardizovat.

pan Finěk, věta 16.26 nařizuje hledat absolutní extrém (pokud je) ve vnitřní oblasti (což je extrém lokální, o tom již řeč byla) nebo na hranici.

A v dalších příkladech píše veškeré možnosti, jak hledat na hranici. Máme:
funkci $f(x,y)=x^2-y^2$
hranici $M: x\ge -y^2-1 , x\le 1 , -1\le y\le 1$

Z čeho se skládá hranice? Jakou metodu pro vyšetření na hranici použijeme? Děkuji.

Matematické Fórum

#1 24. 06. 2012 18:22

Absolutní extrém - lokální extrém

#2 24. 06. 2012 19:08

Re: Absolutní extrém - lokální extrém

#3 24. 06. 2012 20:15

Re: Absolutní extrém - lokální extrém

#4 24. 06. 2012 20:52

Re: Absolutní extrém - lokální extrém

#5 25. 06. 2012 07:47

Re: Absolutní extrém - lokální extrém

#6 25. 06. 2012 08:03

Re: Absolutní extrém - lokální extrém

#7 25. 06. 2012 08:09

Re: Absolutní extrém - lokální extrém

#8 25. 06. 2012 08:21

Re: Absolutní extrém - lokální extrém

#9 25. 06. 2012 10:09

Re: Absolutní extrém - lokální extrém

#10 25. 06. 2012 12:06

Re: Absolutní extrém - lokální extrém

#11 25. 06. 2012 12:17

Re: Absolutní extrém - lokální extrém

#12 25. 06. 2012 12:27

Re: Absolutní extrém - lokální extrém

#13 25. 06. 2012 12:58

Re: Absolutní extrém - lokální extrém

#14 25. 06. 2012 23:39

Re: Absolutní extrém - lokální extrém

#15 27. 06. 2012 11:31

Re: Absolutní extrém - lokální extrém

#16 27. 06. 2012 12:38

Re: Absolutní extrém - lokální extrém

Zápatí