Matematické Fórum

drabi · 27. 06. 2012 16:50

↑↑ chipák:
a mohl bys to tady prosím konkrétně popsat, jak tu větu používáš a k jakému výsledku jsi se dostal? díky

chipák · 27. 06. 2012 17:06

↑ drabi:

Takže Gauss Ostrogradskeho věta: $\iint\limits_{\vec{\Gamma}}\, \vec{a}d\vec{S}=\iiint\limits_M \text{div}\vec{a}dx dy dz$

$\vec{a}$ je vektorové pole $(0,0,\sin x)$
$\text{div}\vec{a}=\frac{\partial \sin{x}}{\partial z}=0$

Meze ani tu plochu nemusím nijak řešit protože integrál je roven $\iiint\limits_M 0 dx dy dz=0$

drabi · 27. 06. 2012 17:40

↑ chipák:
ok, tak v tom případě je to úplně jasné:)
děkuji mockrát oběma za pomoc

Rumburak

↑↑ chipák:

Ten vzorec z G.O. věty stačí si zapamatovat ve tvaru pro jednu obecnou složku jednotkového vektoru $\vec{n}=(n_i)$ vnější normály:

(1) $\int_{\partial G} f n_i \,\mathrm{d}S = \int_G \frac{\partial f}{\partial x_i}\, \mathrm{d}V$ ,

který se rovněž dá v mnoha případech použt. Nahradíme-li v něm funkci $f$ funkcí $f_i$ , pak součtem přes $i = 1, ..., m$ , kde $m$ je dimense prostoru
$\mathbb{R}^m$ , v němž $G$ je uzavřenou omezenou oblastí s hranicí $\partial G$ , vznikne známý vzorec s divergencí, z něhož pak zpětně vyplyne (1) jako jeho speciální
případ pro $f_j = 0 , j \ne i$ , $f = f_i$ .

Vzorec (1) platí (za příslušných předpokladů) v prostorech $\mathbb{R}^m$ libovolné dimense. Například v "singulárním případě" $m=1 , G= \langle a , b \rangle , a < b$
máme Newtonův-Leibnizův vzorec

(2) $1\cdot f(b) + (-1)\cdot f(a) = \int_a^b \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x$ ,

takže pokud zde levou stranu při dobré vůli považujeme za jakýsi druh integrálu z funkce $fn$ přes orientovanou hranici $\{a, b\}$ intervalu $\langle a , b \rangle$ s vnějšími
jednotkovými normálovými vektory $n(b) = 1, n(a) = -1$ , můžeme (2) považovat za variantu vzorce (1) . V tomto případě jde samozřejmě jen
o jakousi mnemotechnickou nadsázku.

Nutno ovšem si dát pozor na případ $m=2$ , pokud jde o symboliku. Zatímco v $\mathbb{R}^3$ je $\int_{\partial G} \vec{f} \vec{n}\,\mathrm{d}S = \int_{\partial G} \vec{f} \,\mathrm{d}\vec{S}$ , kde pravou stranu můžeme
použít ve vzorci z G.O. věty v jeho obecném tvaru "s divergencí" , v $\mathbb{R}^2$ pak přesně analogický vztah mezi křivkovými integrály 1. a 2. typu obecně neplatí,
neboli

(3) $\int_{\partial G} \vec{f} \vec{n}\,\mathrm{d}s \ne \int_{\partial G} \vec{f} \,\mathrm{d}\vec{s}$ ,

takže v G.O. větě pro $\mathbb{R}^2$ by použítí pravé strany z (3) by bylo chybou. Tato odlišnost $\mathbb{R}^2$ resp. odlišnost koncepce křivkového integrálu druhého typu od
koncepce plošného integrálu druhého typu je vyjádřena Greenovou větou.

Rumburak

↑↑ drabi:

Ještě jednou zdravím.

drabi napsal(a):
↑↑ Rumburak:
...
Jinak k té větě, na kterou jsi odkazoval, tak ty koeficienty A,B,C a jejich pronásobení s P,Q,R není nic jiného než skalární součin $f(g(u,v)) \cdot n(g(u,v))$

Až tak jednoduché to není.
Je-li $X=X(u,v)$ zvolená parametrisace plochy (kde $X=[x, y, z]$ je obecný bod prostoru), $\vec{n}(u,v)$ jednotkový normálový vektor v bodě
$X(u,v)$ a $B(u, v) , C(u,v), A(u, v)$ funkce z té věty, pak spolehlivě můžeme říci pouze to, že existuje funkce $\lambda(u, v)$ taková, že

$(B(u, v) , C(u,v) , A(u, v)) = \lambda(u, v)\cdot \vec{n}(u,v)$ .

PŘÍKLAD. Vezměme rovinu popsanou rovnicí $x + y + z = 0$ , jejímž jednotkovým normálovým vektorem společným pro všechny její body je
(až na volbu znaménka)

$\vec{n} = $\frac{1}{\sqrt{3}} , \frac{1}{\sqrt{3}} , \frac{1}{\sqrt{3}}$$ .

Parametrisujme ji rovnicemi $x = u^3 , y = v , z = -u^3 - v$ . Snadno zjistíme, že $B(u, v) = C(u,v) = A(u, v) = 3u^2$ , takže

$(B(u, v) , C(u,v) , A(u, v)) = 3u^2\sqrt{3}\cdot \vec{n}$ .

Je zřejmé, že u složitější plochy se složitější její parametrisací můžeme očekávat i složitější funkci $\lambda(u, v)$ . A odvodit její tvar pouze ze znalosti $\vec{n}(u,v)$
by se nám patrně nepodařilo. Proto je vhodnější používat přímo onu větu. Jako nejméně složité (a s minimálním risikem chyb) mi připadá každou ze tří částí
"souhrnného" plošného integrálu počítat separátně (případně i se zvlášní parametrisací výhodnou pro tu kterou část výpočtu), větu 2.3 pak používat v jejích
speciálních tvarech pro $P \equiv Q \equiv 0$ resp. $Q \equiv R \equiv 0$ resp. $R \equiv P \equiv 0$ a dílčí výsledky v závěru sečíst.