Matematické Fórum

domini.001 · 10. 07. 2012 17:06

Ahoj, prosím potřebovala bych pomoci s tímto příkladem:
Upravte diference v diferenční rovnici a najděte její partikulární řešení splňující uvedené počáteční podmínky
$4\triangle ^{2}y_{n}+8\triangle y_{n}+3y_{n}=6n+7 y$ $y1=1$ $y2=2$

Moje řešení:Prvně si to převedu na ten tvar bez trojuhelníčku a to mi vyšlo po kzracení takto: $4y_{n+2}-y_{n}=6n+7$

a teď vlastně moc už nevím co dál. Jestli mám hledat y se stříškou, nebo nevím, poradíte mi rposím někdo? Děkuju

kaja.marik · 10. 07. 2012 18:03

a teď vlastně moc už nevím co dál. Jestli mám hledat y se stříškou, nebo nevím, poradíte mi rposím někdo? Děkuju

Težko odpovědět, záleží totiž, co je ve Vašem označení y se střískou.

Je to lineární diferenční rovnice druhého řádu, zkuste si najít metody, jak se tyto rovnice řeší.

xxxxx19 · 11. 07. 2012 19:49

tomu znaceni taky nejak nerozumim

lukaszh · 11. 07. 2012 20:36

↑ xxxxx19:

"y se stříškou" má byť stacionárne riešenie. No v tomto konkrétnom prípade by si také y len ťažko hľadala, kvôli pravej strane. Najprv si nájdeme riešenie homogénnej rovnice

$4H_{n+2}-H_{n}=0$

Veľké H značí homogénne riešenie. Z charakteristického systému si vieš dopočítať

$H_{n}=\left[C_1+C_2(-1)^{n}\right]\frac{1}{2^n}$

Teraz uhádneme nejaké nehomogénne riešenie

$4N_{n+2}-N_{n}=6n+7.$

Navrhnime si ho v tvare $N_{n}:=\alpha n+\beta$ . Dopočítajme koeficienty tak, aby N spĺňalo nehomogénnu rovnicu. Dosaďme teda tento tvar do rovnice

$4\left[\alpha(n+2)+\beta\right]-(\alpha n+\beta)=6n+7.$

Jednoduchou úpravou dostaneme rovnicu a porovnáme koeficienty

$3\alpha n+8\alpha+3\beta=6n+7$

Porovnaním koeficientov dostaneme $3\alpha=6$ z čoho $\alpha=2$ . Potom $\beta=-3$ . Naše nehomogénne riešenie je

$N_n=2n-3.$

Vrátime sa späť k y riešeniu pôvodnej rovnice. To získame ako superpozíciu homogénneho H a nehomogénneho N riešenia

$y_n:=N_n+H_n=2n-3+\left[C_1+C_2(-1)^{n}\right]\frac{1}{2^n},$

kde koeficienty C si vážená slečna dopočíta sama z počiatočných podmienok. Správny výsledok pre kontrolu je

$y_{n}=\frac{1}{2^{n-2}}+2n-3.$