Matematické Fórum

macher1 · 12. 07. 2012 14:03

Dobrý deň.
Mám takúto limitu:
$\lim_{x\to a}\frac{e^{x}- e^{a}}{x-a}$ a výsledok má byť $e^{a}$ . Mne ale vychádza výsledok $e^{x} - ae^{a}$ . Postupoval som tak že som použil L'Hospitalovo pravidlo. Poradí niekto čo s tým? Ďakujem.

Takjo · 12. 07. 2012 14:30

↑ macher1:
Dobrý den,
zkuste zauvažovat nad tím, že $e^{a}$ je konstanta... :)

Sulfan · 12. 07. 2012 14:31

Ahoj,
pokud můžeš použít L´Hospitalovo pravidlo, tak určitě znáš derivace. Tudíž nejjednodušší si je uvědomit. že je to derivace funkce $f:y=e^x$ v bodě a.

jarrro · 12. 07. 2012 15:13 — Editoval jarrro (12. 07. 2012 15:15)

alebo $\lim_{x\to a}\frac{\mathrm{e}^{x}- \mathrm{e}^{a}}{x-a}=\mathrm{e}^a\lim_{x\to a}{\frac{\mathrm{e}^{x-a}-1}{x-a}}=\nl=\mathrm{e}^{a}\lim_{t\to 0}{\frac{\mathrm{e}^t-1}{t}}=\mathrm{e}^{a}\lim_{z\to 0}{\frac{z}{\ln{\left(1+z\right)}}}=\nl =\mathrm{e}^{a}\lim_{u\to \infty}{\frac{1}{u\cdot\ln{\left(1+\frac{1}{u}\right)}}}=\mathrm{e}^a\cdot\ln{\mathrm{e}}=\mathrm{e}^{a}$ prípadne ak je
$\lim_{t\to 0}{\frac{\mathrm{e}^t-1}{t}}=1$ známa tak možno posledný riadok vynechať

macher1 · 12. 07. 2012 15:44

Sulfan: máš na mysli $[e^{a}]'=e^{a}.ln e$ ?
jarrro: áno to bude ono. Ty to máš tiež v poslednom riadku v prvom výpočte.
Všetkým veľká vďaka!

Rumburak · 12. 07. 2012 16:04

↑ macher1:

Zdravím.

Toto $[e^{a}]'=e^{a}.ln e$ (kde navíc $ln e = 1$ ) je samozřejmě pravda a vztah $(\mathrm{e}^x)'= \mathrm{e}^x$ je celkem dobře znám.

Kolega ↑ Sulfan: Tě chtěl upozornit na skutečnost, že $\lim_{x\to a}\frac{e^{x}- e^{a}}{x-a}$ je speciálním případem (pro $f(x) := \mathrm{e}^x$ )
limity $\lim_{x\to a}\frac{f(x)- f(a)}{x-a}$ , kterou (pokud existuje) značíme $f'(a)$ a nazývéme derivací funkce $f$ v bodě $a$ .
Viz definice derivace funkce jedné proměnné.