Matematické Fórum

Anonymystik · 23. 07. 2012 22:19

Zdravím.
Algebraická čísla jsou taková čísla x, pro které existuje polynom s celočíselnými koeficienty P takový, že P(x) = 0. Dočetl jsem se též o jedné vlastnosti algebraických čísel - tvoří těleso - tj. součet, rozdíl, součin i podíl dvou algebraických čísel je též algebraické číslo. Tak jsem si začal hrát a řekl si - ok, vezmu nějaká dvě algebraická čísla, sečtu je a dostanu též algebraické číslo a k tomu pak budu hledat příslušnou rovnici s celočíselnými koeficienty. U těch "hezčích čísel", kde není moc odmocnin apod. to není příliš těžké. Např. pro číslo $\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}$ je příslušná rovnice "jenom" 8. stupně a vypadá takto: $x^{8} - 40x^{6} + 352x^{4} - 960x^{2} + 576 = 0$ Zjistil jsem to tak, že jsem položil $x = \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}$ a pak jsem běžnými algebraickými úpravami a umocňováním na druhou postupně rovnici upravoval, dokud jsem se nezbavil všech odmocnin. Jenže třeba u čísla $x = \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} + \sqrt{7} + \sqrt{11}$ mám problém - těch odmocnin už je tam tolik, že ať už si je na levou a pravou stranu rozprostřu jakkoliv, tak po umocnění se celkový počet odmocnin (které vzájemně nejdou posčítat do jednoho členu) nezmenší. Tudíž mám problém s nalezením příslušné rovnice s celočíselnými koeficienty a nemůžu si tedy být jistý, zda se skutečně jedná o algebraické číslo. Poradíte mi? Díky za každou smysluplnou odpověď.

jarrro · 24. 07. 2012 10:19 — Editoval jarrro (24. 07. 2012 16:17)

http://en.wikipedia.org/wiki/Resultant
http://mathworld.wolfram.com/Resultant.html

toto som vygooglil neviem či pomôže

check_drummer · 24. 07. 2012 18:52

↑ Anonymystik:
Ahoj, pěkná úloha. Zatím jsem se nezamýšlel nad postupem, ale pokud budu mít čas, určitě se tomuto problému budu věnovat.
Pozn.: Zajímavé bylo totéž zjistit třeba pro číslo $x = \sqrt{2} + \sqrt[3]{3} + \sqrt[5]{5} + \sqrt[7]{7} + \sqrt[11]{11}$ . :-))

check_drummer · 24. 07. 2012 20:46

↑ Anonymystik:
Ahoj, zatím mě napadlo toto:
Pokud důkaz věty o uzavřenosti algebraických čísel, je konstruktivní, pak nabízí postup jak daný polynom sestrojit a lze tedy postupovat indukcí podle "složitosti" výrazu definujícího x.

Nicméně k Tvému konkrétnímu případu: Zabývejme se problémem, kdy (schematicky psáno) $x:=\sum{\sqrt{a_i}}$ . Zkoumejme hodnoty $x^{2^k}$ - každá tato hodnota je tvaru $x:=\sum{b_j\sqrt{c_j}}$ , kde $b_j \in \mathbb{Z}$ a $c_j$ je součin některých (vždy však různých, případně žádných) čísel $a_i$ . Tedy pro dostatečně velké k dosáhneme toho, aby pro nějaké k0 bylo každé $c_j$ , které se v $x^{2^{k0}}$ vyskytuje, přítomno i v jiném výrazu $x^{2^m}$ (tj. pro $k0 \neq m$ a $m \le k$ ) a aby k-1 nebylo menší než počet různých $c_j$ ve všech těchto výrazech $x^{2^m}$ . Tím tedy získáme soustavu rovnic (výraz $x^{2^{k0}}$ z této sousravy vynecháme) s neznámými $c_j$ , které vyjádříme (zde je slabé místo / rovnice musí být nezávislé) pomocí x a dosadíme do výrazu definujícího $x^{2^{k0}}$ a tím získáme vztah pro x aniž bychom použili odmocniny - členy $c_j$ .

Takto jsem odvodil rovnici jejíž kořen je $\sqrt2+\sqrt3$ . Jednoduchost převládá nad obecnou ilustrací metody výše:
položíme $x:=\sqrt2+\sqrt3$ a tedy máme:
$x^2=5+2.\sqrt6$ $(1)$
$x^4=49+20.\sqrt6$ $(2)$
Tím jsme získali jednu rovnici (1) s jednou neznámou ( $\sqrt6$ ), kterou vyřešíme a neznámé (resp. tu jedinou neznámou) dosadíme do druhé rovnice, tedy máme:
$\frac{x^2-5}{2}=\sqrt6$ a po dosazení do druhé rovnice:
$x^4=49+20.\frac{x^2-5}{2}$ a po úpravě
$x^4-10x^2+1=0$ , což je hledaná rovnice.

Otázka je, zda takto získáme polynom s minimálním stupněm, jehož kořen je dané číslo. Možná by bylo zajímavé, kdybys sem uvedl, jak metodou jsi tento příklad řešil ty, třeba půjde o jádro jiné obecné metody.

vanok · 24. 07. 2012 22:22 — Editoval vanok (24. 07. 2012 22:23)

Mala poznamka:
Ako ↑ check_drummer: kolega ukazal, taketo metody na ukazanie ze sucet nejakych algebrickych cisiel je tiez algebricke cislo je pracne.
Ako poznamenal, kolega ↑ jarrro:, mozeme pouzit pojem resultanty
No vsak, treba vediet, ze Dedekind linearizoval tento problem vdaka pojmu MODUL (konecneho typu)

Cize mozeme znovu pochvalit kolegu ↑ Anonymystik:, ze dal do popredia tuto zaujimavu temu.

check_drummer · 24. 07. 2012 22:58

vanok napsal(a):
No vsak, treba vediet, ze Dedekind linearizoval tento problem vdaka pojmu MODUL (konecneho typu)

Ahoj, co prosím znamená Tvá poznámka, že daný problém byl linearizován? Děkuji.

check_drummer · 24. 07. 2012 23:05

↑ vanok:
Ahoj, ještě jeden dotaz - z čeho prosím plyne, že koeficienty onoho "Resultantu" jsou v našem případě racionální čísla? To není zřejmé a je to podstatná vlastnost, kterou od tohoto polynomu v našem případě požadujeme. Děkuji

vanok · 25. 07. 2012 00:06 — Editoval vanok (25. 07. 2012 00:06)

↑ check_drummer:
To sa lepsie vidi tu
http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9sultant
kde je definovana resultanta ( alebo resultant???) dvoch polynomov ako determinant
Sylvestrer-ovej matice (co je equivalentne z definiciou v anglickej verzii)

↑ check_drummer:
Dedekind-ovu metodu najdes napriklad v Théorie algébrique des nombres, Pierre Samuel, éditeur Hermann

Anonymystik · 25. 07. 2012 00:59

Zdravím.
Chtěl bych všem poděkovat za hodnotné příspěvky - moc mi pomáháte s odpověďmi na mé otázky. Takže ještě jednou - díky.

jarrro · 25. 07. 2012 09:44 — Editoval jarrro (29. 07. 2012 15:39)

čaute nedali by sa pri dôkaze, že v prípade polynómu
$h{\left(x\right)}=\mathrm{res}{\left(p{\left(t\right)}, q{\left(x-t\right)}\right)}$ ide o polynóm s racionálnymi koeficientami ak p, q sú také polynómy
nejako využiť vietove vzťahy? to ma len tak napadlo lebo sa tam objavujú súčty súčinov koreňov.
napr.http://www.wolframalpha.com/input/?i=Resultant%5B%28t-a%29*%28t-b%29%2C%28x-t-c%29*%28x-t-d%29%2Ct%5D&dataset=
že h má za korene súčty koreňov p a q je asi zrejmé keď sa p q napíšu ako súčiny koreňových činiteľov.