Matematické Fórum

Danielka · 13. 11. 2008 15:53

Rozhodněte zda-li zobrazení A : P3 -> R3 defnované předpisem
A(ax^2 + bx + c) = [a - 2b + 3c; b + a - c;-2a - 2c]
je lineární. Dále nalezněte matici tohoto lineárního zobrazení vůči standardním bázím S = (x^2; x; 1) a S` = ([1; 0; 0]; [0; 1; 0]; [0; 0; 1]).
Zobrazení je lineární, ale nevím jak bude vypadat to zobrazení vůči standardním bázím S a S`. V podstatě jak bude vypadat matice x^2,x,1.
Pomůže někdo?
Děkuji.

finch.cz · 13. 11. 2008 23:30

taky bych se k tomu přikláněl, jak na to?

zatím jsem udělal toto:

$A(tP)=tA(p) A(t(ax^2 + bx + c)) = A(atx^2 + btx + ct) = [at - 2bt + 3ct, at+bt-ct, -2at-2ct] tA(ax^2 + bx + c) = t [a-2b+3c, a+b-c, -2a-2b] = [at - 2bt + 3ct, at+bt-ct, -2at-2ct] A(P+Q)=A(P)+A(Q) p=(ax^2 + bx + c) q=(dx^2 + ex + f) A(P+Q)= A((ax^2 + bx + c) + (dx^2 + ex + f)) = A(ax^2 + bx + c + dx^2 + ex + f) = x(a - 2b + 3c + d - 2e + 3f, a + b - c + d + e - f, - 2a - 2c - 2d - 2f) A(P)+A(Q)= A(ax^2 + bx + c) + A(dx^2 + ex + f) = A(a-2b+3c) + A(d-2e+3f) = x(a - 2b + 3c + d - 2e + 3f, a + b - c + d + e - f, - 2a - 2c - 2d - 2f) $

jak se ale určí ta báze?

Pavel Brožek · 13. 11. 2008 23:40

↑ finch.cz:

Není mi jasné, jakou bázi chceš určovat, báze, ke kterým máme najít matici zobrazení, jsou zadané.

↑ Danielka:

Pro určení matice zobrazení vůči nějakým bazím S a S' stačí zjistit obrazy bázových vektorů z S a určit jejich souřadnice v S'. Tyto souřadnice pak tvoří sloupce matice zobrazení vůči těmto bazím. Je snadné se přesvědčit, že to tak opravdu je, mohu to ale ukázat, pokud je zájem.

Kondr · 13. 11. 2008 23:45

Ano, zobrazení je lineární. Jeho matici vzhledem ke standardním bázím získáme posbíráním koeficientů:

A(ax^2 + bx + c) = [a - 2b + 3c; b + a - c;-2a - 2c]

1 -2 3
1 1 -1
-2 0 -2

Sloupce jsou souřadnice obrazů bázových vektorů S vzhledem k bázi S' (tj. první sloupec: x^2 se zobrazí na [1,1,-2], což je vektor o souřadnicích (1,1,-2) vzhledem k S'. Druhý sloupec: x se zobrazí na [-2,1,0]; třetí: 1 se zobrazí na [3,-1,2].)

lukaszh

EDIT1: Oups. Zdravim Kondr. Predbehol si ma :-)) Aspoň ma môžeš opraviť :-))))

Ide o zobrazenie, ktoré ku každému polynómu $p(x)=\{ax^2+bx+c|a,b,c\in\mathbb{R}\}$ priradí práve jeden vektor v zadanom tvare.
Treba si všimnúť, kam sa zobrazia bázové vektory $\{x^2;\,x;\,1\}$ . Riešme teda:

To sú vlastne stĺpce matice zobrazenia, preto môžem písať:

Teda platí, že $\textrm{A}(p(x))=\textrm{M}\cdot\vec{x}$

finch.cz · 13. 11. 2008 23:59

děkuji moc za pomoc a dobrou noc

Danielka · 15. 11. 2008 03:23

Také moc děkuji za pomoc a dobré ráno

Matematické Fórum

#1 13. 11. 2008 15:53

Zobrazení vůči standardním bázím

#2 13. 11. 2008 23:30

Re: Zobrazení vůči standardním bázím

#3 13. 11. 2008 23:40

Re: Zobrazení vůči standardním bázím

#4 13. 11. 2008 23:45

Re: Zobrazení vůči standardním bázím

#5 13. 11. 2008 23:47 — Editoval lukaszh (13. 11. 2008 23:48)

Re: Zobrazení vůči standardním bázím

#6 13. 11. 2008 23:59

Re: Zobrazení vůči standardním bázím

#7 15. 11. 2008 03:23

Re: Zobrazení vůči standardním bázím

Zápatí