Matematické Fórum

inter · 14. 08. 2012 10:55

Pět stejných koulí se nachází ve vrcholech pravidelného pětiúhelníka vepsaného do kružnice o poloměru 6 cm. O jakou vzdálenost se posune těžiště soustavy koulí, když jednu z koulí odebereme?

Chápu jak se počítá těžiště, co však mi udělají koule? Můžu si rozdělit pětiúhelník na 5 části?? děkuji

mák · 14. 08. 2012 14:50

Nepočítáš těžiště pětiúhelníku, ale těžiště soustavy 5 koulí, vůči těžišti soustavy 4 koulí.

inter · 14. 08. 2012 15:00

↑ mák: A jak mi to ovlivní poloměr kružnice do které je vepsán pětiuhelník?? Ten mi je na nic??

mák · 14. 08. 2012 15:10

Poloměr kružnice potřebuješ znát, aby si věděl, jak jsou koule daleko od sebe.

inter · 15. 08. 2012 14:36

↑ mák:Prosím o větší nápovědu, nevím kudy..

rleg · 15. 08. 2012 16:34

↑ inter:

Šel jsem na to takto: spočetl jsem souřadnice jednotlivých koulí podle nápovědy

Souřadnice těžiště všech 5 koulí je [0,0], pak jsem jednu kouli (libovolnou, ve všech případech by velikost posunutí měla být stejná) vyřadil a spočítal těžiště znovu. Teoreticky by to mělo být dobře, ale buď jsem udělal někde početní chybu, nebo prostě neumím efektivně počítat siny a cosiny násobků 2/5 pí, číselně mi ta velikost posunutí při vyřazení různých koulí vycházela různě.

inter · 15. 08. 2012 16:36

↑ rleg:Výsledek má být 15 cm.

mák · 15. 08. 2012 17:46

Tak to mají blbě, protože to vyjde 1.5 cm.

Koule jsou umístěny v úhlech:
$\left[ 0 , {{2\,\pi}\over{5}} , {{4\,\pi}\over{5}} , {{6\,\pi }\over{5}} , {{8\,\pi}\over{5}} \right]$

Vypočteš souřadnice 5 koulí [x,y]:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pak uděláš aritmetický průměr zvlášť x-ových a y-ových souřadnic libovolných čtyřech z pěti koulí.

A velikost úhlopříčky bude vzdálenost od středu:
$u=\sqrt{y^2+x^2}$

Pokaždé vyjde stejný výsledek. (1.5 cm)

zdenek1 · 15. 08. 2012 18:15

↑ inter:

Vynechávám kouli se souřadnicí $[R;0]$

Posunem $y$ ové souřadnice se nemusíš zabývat, protože je to symetrické podle osy $x$ .

Pro $x$ -ovou souřadnici máš
$x_t=\frac{\sum m_ix_i}{\sum m_i}=\frac{mR(\cos \frac{2\pi}{5}+\cos \frac{4\pi}{5}+\cos \frac{6\pi}{5}+\cos \frac{8\pi}{5})}{4m} =\frac R4\left(\cos \frac{2\pi}{5}+\cos \frac{4\pi}{5}+\cos \frac{6\pi}{5}+\cos \frac{8\pi}{5}\right)$

zbytek je pro kalkulačku. Nebo můžeš použít vzorec $\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$
a sečíst krajní a prostřední členy. Dost se to zjednoduší.