Matematické Fórum

Matthias · 20. 08. 2012 13:54

Jak se tohle řeší? Díky

Cheop · 20. 08. 2012 13:57 — Editoval Cheop (20. 08. 2012 14:02)

↑ Matthias:
Rozšiř zlomek výrazem:
$\frac{1-i}{1-i}$ a měj na paměti, že $i^2=-1$

$\frac{3-i}{1+i}=\frac{3-i}{1+i}\cdot\frac{1-i}{1-i}=\,\cdots\,\cdots$
Mělo by ti vyjít:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Matthias · 20. 08. 2012 14:03

No, tos mi ukázal v podstatě výsledek.

Ale o to mi nešlo - já bych spíše chtěl vědět celkově, co tahle látka je zač a jak se při ní s příkladem zachází :)
Ale i tak dík

Cheop · 20. 08. 2012 14:07 — Editoval Cheop (20. 08. 2012 14:21)

↑ Matthias:
Říkají Ti něco komplexní čísla?
Komplexní číslo z můžeme zapsat mimo jiné v algebraickém tvaru:
$z= a+b\,i$
V našem případě máme $z=\frac{3-i}{1+i}$ a my to máme převést na algebraický tvar k.č.
Dalším tvarem komplexního čísla je goniometrický tvar k.č
Ten vypadá takto:
$z=|z|(\cos\,\varphi+i\,\sin\,\varphi)$ přičemž: $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ a $\cos\,\varphi=\frac{a}{|z|}$ $\sin\,\varphi=\frac{b}{|z|}$

Matthias · 20. 08. 2012 14:08

↑ Cheop:

Moc ne, ale při googlení jsem našel příliš obecné věci a nic moc konkrétního o jejich dělení :)

Matthias · 20. 08. 2012 14:42

a to 3-i je z1 a 1+i je z2
?

Cheop · 20. 08. 2012 14:58 — Editoval Cheop (20. 08. 2012 14:58)

↑ Matthias:
Principem je zbavit se ve jmenovateli toho i tak, abys dostal k.č. ve tvaru $z=a+b\,i$

Matthias · 20. 08. 2012 15:09

Chápu to tak, že jsi to nejdříve dosadil do vzorečku:

A jak se vlastně pokračuj dál?:)

Matthias · 20. 08. 2012 15:31

Už to asi chápu, pak se to roznásobí na

3-3i-i+i^2
-----------
1-i+i-i^2

následně trochu upraví

3-4i+i^2
----------
1-i^2

i^2 se vymění za mínus jedničky

3-4i+(-1)
-----------
1-(-1)

čili

3-4i-1
------
1+1

2-4i
----
2

což je 1-2i

Správně?

Rumburak

↑ Matthias:
Nevím, co mají být z1 a z2 . Ale pokud Ti postup vyložený kolegou ↑ Cheop: nebyl dosti srozumitelný, podívejme se to jinak.

Tak jako v oboru reálných čísel, i v oboru komplexních čísel je dělení míněno jako opačná (neboli inversní) operace k násobení ,
takže vydělit komplexní číslo $a$ komplením číslem $b$ znamaná - podle definice dělení - totéž, jako vyřešit rovnici

(1) $bz = a$

s komplexní neznámou $z$ . Obdobně jako u dělení v teorii reál. čísel i zde nutno předpokládat $b \ne 0$ , protože jedině tak platí,
že rovnice (1) řešení má a jen jediné, a pak tedy rovněž podíl $a:b = \frac{a}{b} = z$ , kde $z$ je kořen rovnice (1), je tímto způsobem
určen, a to jednoznačně.

Nyní uvažujme rovnici (1) v jejím speciálním případě $a = 1$ , tedy rovnici

(2) $bw = 1$

(s nenámou $w$ ). Najdeme-li její kořen $w$ a vynásobíme jím rovnici (1), obdržíme

$w(bz) = wa , \\ (wb)z = wa , \\ (bw)z = wa , \\ 1z = wa$

(v posledním řádku je využito (2)), z posledního řádku pak plyne $z = wa$ . Dokázali jsme tedy větu

(V) Kořen $z$ rovnice (1), v níž $b \ne 0$ , má tvar $z = wa$ , kde $w$ je kořenem rovnice (2).

Hledejme tedy kořen $w$ rovnice (2). Všimněme si, že pravá strana rovnice (2) je reálné číslo. Měli bychom vědět, že

(3) $b\overline{b} = |b|^2$ ,

kde $\overline{b}$ je číslo komplexně sdružené s číslem $b$ . Když rovnost (3) vydělíme její pravou stranou (což podle předpokladu $b \ne 0$
je kladné číslo), obdržíme

$b\cdot \frac{\overline{b}}{|b|^2} = 1$

a porovnáme-li poslední rovnost s rovnicí (2), vidíme, že $w = \frac{\overline{b}}{|b|^2}$ . Dosazením tohoto výsledku do vzorce z věty (V) máme

(4) $z = aw = a\cdot \frac{\overline{b}}{|b|^2}$ , tudíž $\frac{a}{b} = a\cdot \frac{\overline{b}}{|b|^2}$ .

Cheopův postup je ekvivalentní s využitím vzorce (4).

Matthias · 20. 08. 2012 17:58

No, tohle mi taky není úplně srozumitelné - v polovině jsem se několikrát ztratil a nechápal, co čtu :)

Bati · 20. 08. 2012 23:52

Ahoj,
jde jen o to, zbavit se komplexního čísla ve jmenovateli zlomku (jak ostatně psal Cheop). Pro každé komplexní číslo $a+bi$ platí, že číslo $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ je vždy reálné. Proto stačí zlomek vhodně rozšířit a pak ho jen "roztrhnout" na dva.

Rumburak · 21. 08. 2012 09:18

↑ Matthias:
Máš-li přáni to pochopit, tak se ptej konkretně - KTERÝ KROK už byl nesrozumitelný a CO V NĚM.
Rád se pokusím to napravit :-) .

Matthias · 21. 08. 2012 10:16

No, už druhá část, kde hledáš nějaké kořeny (nehledá se to v kvadratických rovnicích?:) a následně tam vypisuješ seznam nějaký rovnice s w - tak to vůbec nepobírám :D

Každopádně děkuji všem za snahu... Momentálně mi ale myslím bude stačit znát těch několik vzorečků, podle kterých se to počítá :)

Rumburak · 21. 08. 2012 15:31

↑ Matthias:
Kořeny rovnic se hledají leckde :-) . Zde jde o definici podílu dvou komplexních (speciálně i dvou reálných) čísel :

Jsou-li $a, b$ komplexní čísla taková, že $b\ne 0$ , potom jejich podílem $a:b$ nazýváme kořen rovnice $bz=a$ (který existuje a je pouze jeden) .

Tato definice (třebas i vyslovena poněkud jinou formou) by v každé dobré učebnici příslušné látky měla být.

Tím "seznamem nějaký rovnice s w" máš, hádám, na mysli posloupnost úprav rovnice $w(bz) = wa$ vzniklou vynásobením rovnice $bz =a$
číslem $w$ splňujícím rovnici $bw = 1$ (které je tedy kořenem této rovnice).